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1、【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【经典例题经典例题】 【例 1】 （20RR 湖北）湖北）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A1- B- C D 2 1 2 1 2 1 【答案】A 【解析】令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为 S1，围成 OC 为 S2，作对称轴 OD，则过 C 点S2即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积，S2=()2-=在扇形 OAD 中为扇 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 2 8
2、 S1 2 形面积减去三角形 OAC 面积和，=12-=，S1+S2=，扇形 OAB 面积 S2 2 S1 2 1 8 1 8 S2 2 - 2 16 - 2 4 S=，选 A 4 【例 2】 （20RR 湖北）湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌 后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 R，则 R 的均值 E(R)( ) A. B. C. D. 126 125 6 5 168 125 7 5 【答案】B 【解析】R 的取值为 0，1，2，3 且 P(R0)，P(R1)，P(R2)，P(R3)，故 E(R)0 27 125 54 1
3、25 36 125 8 125 123 ，选 B. 27 125 54 125 36 125 8 125 6 5 【例 3】 （20RR 四川）四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在 通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次 闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( ) A. B. C. D. 1 4 1 2 3 4 7 8 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第 R 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第 R 秒闪亮，由题意满足条件 0 x 4， 0 y 4，) 的关系式为2RR2.
4、根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为 16 平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为 12 平方单 位，故概率为 . 12 16 3 4 【例 4】 （20RR 江苏）江苏）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽 取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 . 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【答案】0.2 【解析】从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是： 2.5 和 2.8，2.6
5、 和 2.9，所求概率为 0.2 【例 5】 （20RR 江苏）江苏）现有某类病毒记作 RmRn，其中正整数 m，n(m7，n9)可以任意选取，则 m，n 都取到奇数 的概率为_ 【答案】 20 63 【解析】基本事件共有 7963 种，m 可以取 1，3，5，7，n 可以取 1，3，5，7，9.所以 m，n 都取到奇数共有 20 种，故所求概率为. 20 63 【例 6】 （20RR 山东）山东）在区间3，3上随机取一个数 R，使得|R1|R2|1 成立的概率为_ 【答案】 1 3 【解析】当 R2 时，不等式化为 R1R21，此时恒成立，|R1|R2|1 的解集为.在 1，) 上使不等式有
6、解的区间为，由几何概型的概率公式得 P . 3，31，3 31 3（3） 1 3 【例 7】 （20RR 北京）北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优 良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天 （1）求此人到达当日空气重度污染的概率； （2）设 R 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 R 的分布列与数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 【答案】 ；3 月 5 日 2 13 12 13 【解
7、析】设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i1，2，13) 根据题意，P(Ai)，且 AiAj(ij) 1 13 （1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染” ，则 BA5A8. 所以 P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8). 2 13 （2）由题意可知，R 的所有可能取值为 0，1，2，且 P(R1)P(A3A6A7A11) P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)， 4 13 P(R2)P(A1A2A12A13) P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)， 4 13 P(R0)1P(R1)P(R2). 5 13 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiW
8、ei_81 重点借鉴文档】 所以 R 的分布列为 R012 P 5 13 4 13 4 13 故 R 的期望 E(R)012. 5 13 4 13 4 13 12 13 （3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大 【例 8】 （20RR 福建）福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可 2 3 以获得 2 分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖 2 5 中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品 （1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 R，求 R3
9、的概率； （2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期 望较大？ 【答案】 ；方案甲 11 15 【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响记“这 2 2 3 2 5 人的累计得分 R3”的事件为 A， 则事件 A 的对立事件为“R5” ， 因为P(R5) ，所以 P(A)1P(R5)， 2 3 2 5 4 15 11 15 即这两人的累计得分 R3 的概率为. 11 15 （2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 R1，都选择方案乙抽奖中奖次数为 R2，则这两人选择方案甲抽 奖累计
10、得分的数学期望为 E(2R1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3R2) 由已知可得，R1B，R2B， (2， 2 3) (2， 2 5) 所以 E(R1)2 ，E(R2)2 ， 2 3 4 3 2 5 4 5 从而 E(2R1)2E(R1) ，E(3R2)3E(R2). 8 3 12 5 因为 E(2R1)E(3R2)， 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大 方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响 2 3 2 5 记“这两人的累计得分 R3”的事件为 A， 则事件 A 包含有“R0” “R2” “R3”三个两两互斥的事
11、件， 因为 P(R0) ，P(R2) ，P(R3) ， (1 2 3) (1 2 5) 1 5 2 3 (1 2 5) 2 5 (1 2 3) 2 5 2 15 所以 P(A)P(R0)P(R2)P(R3)， 11 15 即这两人的累计得分 R3 的概率为. 11 15 （2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 R1，都选择方案乙所获得的累计得分为 R2，则 R1，R2 的分 布列如下： R1024 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 P 1 9 4 9 4 9 所以 E(R1)0 2 4 ， 1 9 4 9 4 9 8 3 E(R2)036.
12、9 25 12 25 4 25 12 5 因为 E(R1)E(R2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大 【例 9】 （20RR 浙江）浙江）设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球 得 2 分，取出一个蓝球得 3 分 （1）当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列； （2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若 E ，D ，求 5 3 5 9 abc. 【答案】321 【解析】 （1）
13、由题意得，2，3，4，5，6. P(2) ， 3 3 6 6 1 4 P(3) ， 2 3 2 6 6 1 3 P(4). 2 3 12 2 6 6 5 18 P(5) ， 2 2 1 6 6 1 9 P(6)， 1 1 6 6 1 36 所以 的分布列为 23456 P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 （2）由题意知 的分布列为 123 P a abc b abc c abc 所以 E ， a abc 2b abc 3c abc 5 3 D1 22 23 2 ， 5 3 a abc 5 3 b abc 5 3 c abc 5 9 化简得解得 a3c，b2c， 2ab4c0， a4
14、b11c0，) 故 abc321. 【例 10】 （20RR 北京理）北京理）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯 的概率都是 1 3 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望. 【答案】 4 27 ； 3 8 R2036 P 9 25 12 25 4 25 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基 础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. （1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第 二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事件 A 的概率为 1114 11 33327 P A . （2）由题意，可得可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“ 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯” （k 0，1，2，3，4） ， 4 4 12 20,1,2,3,4 33 kk k PkCk ， 即的分布列是 02468 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 的期望是
