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1、分式概念 形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。方法：数看结果，式看形。分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。4.
2、分式值为1的条件：分子=分母0。5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。代数式分类整式和分式统称为有理式。带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。无理式和有理式统称代数式。分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：（A,B,C为整式，且B、C0）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式
3、，再将公因式约去。公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。（2） 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。用字母表示为：分式的加减法法则： 同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：异分母分式的加减法法则： 异分母的分式
4、相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。分式的除法法则： 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:乘方分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简：分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法：（1）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值（3）验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。分式方程解法的归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整
5、式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。【基础精讲】 一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例1】有理式（1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）中，属于整式的有： ；属于分式的有： 。.2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.(1) 例如，当x为 时，分式有意义错解：时原分式有意义(2) 不要随意用“或”与“且”。例如 当x_时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制当 时，分式有意义当 时，分式无意义当 时，分式值为0二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分
6、式的值不变.(1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它理解分式的基本性质时，必须注意：分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式在分式的基本性质中，M0分子、分母必须“同时”乘以M(M0)，不要只乘分子（或分母）性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的(2)注意：根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或
7、除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式【例3】下列变形正确的是（ ）A; B C D【例4】 如果把分式中的都扩大3倍,那么分式的值一定( ) A.扩大3倍 B.扩大9倍 C. 扩大6倍 D.不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】（1）化简的结果为（ ）A B C D（2）化简的结果（）A B C D（3）化简的结果是（）A BC D3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数
8、；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;三、分式的运算1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序例如，计算，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行错解：原式（2）通分时不能丢掉分母例如，计算，出现了这样的解题错误：原式=分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略 （4）最后的运算结果应化为最简分式2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.(1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把
9、每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式 3、加减的加减 1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。 2)异分母分式加减法则：运算步骤：先确定最简公分母；对每项通分,化为分母相同； 按同分母分式运算法则进行；注意结果可否化简，化为最简4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算. 【例6】计算：（1）； （2）；（3） （4）已知，则代数式的值分式运算中的技巧与方法1在分式运算中
10、，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。一、 整体通分法例1化简：-a-1分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。解：-a-1=-(a+1)= -=二、 逐项通分法例2计算-分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法解：-=- =- =- =-=0三、 先约分，后通分例3计算：+分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算解：+=+=+=2四、 整体代入法例4已知+=5求的值解法1：+=5xy0,.所以=解法2：由+=5得，=5, x+y=5xy=五、运用公式变形法例5已知a
11、2-5a+1=0，计算a4+解：由已知条件可得a0,a+=5a4+=(a2+)2-2=(a+)2-22-2=(52-2)2-2=527六、设辅助参数法例6已知= = ，计算：解：设= = =k，则b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck；把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c0，则k=2=k3当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8七、应用倒数变换法例7已知=7，求的值解：由条件知a0,=,即a+=a2+1=(a+)2-1=八、取常数值法例8已知：xyz0,x+y+z=0,计算+解：根据条件可设x=1,y=1,z
12、=-2.则+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。九、把未知数当成已知数法例9已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: 解：把c当作已知数，用c表示a,b 得,a=3c, b=2c=.十、巧用因式分解法例10已知a+b+c=0，计算+解:a+b+c=0, a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b2a2+bc=a2+a2+bc=a2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)同理可得2b2+ac=(b-c)(b-a),2c2+ab=(c-a)(c-b)+=+=-+=1分式运算的几种技巧(二）1、先约分后通分技巧 例1 计算+分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式
13、=+ =+=2、分离整数技巧 例2 计算-分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。解：原式=-=1+-1-=-=-3、裂项相消技巧 例3 计算+分析：此类题可利用=（-）裂项相消计算。解：原式=（-）+（-）+（-）=-=4、分组计算技巧 例4 计算+-分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取分组计算简捷。解：原式=（-）+（-）=+=5、变形技巧 例5 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。分析：将已知两边同除以x（x0）可变出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。解：由x2-3x+1=0
14、，两边同除以x（x0），得x-3+=0，即x+=3所以x2+=（x+）2-2=32-2=7 二、分式求值中的整体思想例1 若分式的值为，则的值为（ ）A、1 B、-1 C、- D、解：由已知=得2y2+3y+7=82y2+3y=1，4y2+6y=2所以=1，故选A。例2 已知+=4，则= 。分析：由已知可得到a+b与ab的关系式，所求式通过分解因式可得到用a+b与ab的表达式，然后将a+b用ab代换即可求出所求式的值。解：由已知得=4 a+b=4ab=-点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到=然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。例3 已知a2-3a+1=0，求的值。解：由已知a2-3a+1=0知a0，将已知等式两边同除以a得a-3+=0，a+=3所以=a2+=（a
