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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,第2章 一元函数微分学,高等数学A,2.3 导数的应用,2.3.4 曲线的凹性及其判定法 2.3.5 曲线的拐点及其求法 2.3.6 曲线的渐近线 2.3.7 函数图形的描绘方法,2.3 导数的应用,2.3.4 曲线的凹凸性及其判定法,曲线的凹凸性习例1-2,2.3.5 曲线的拐点及其求法,曲线的拐点判别习例3-5,2.3.6 曲线的渐近线,曲线的渐近线习例6,2.3.7 函数图形的描绘方法,函数图形的描绘习例7-10,课堂思考与练习,导数的应用,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,即,若函数为凸函数, 则有,类似地, 若函
2、数为凹函数, 则有,1. 定义:,设 f (x)在 I内连续,则 f (x)为区间 I上的凸函数.,则 f (x)为区间 I上的凹函数.,如图所示,凹弧的曲线位于各点处切线的上方,凸弧的曲线位于各点处切线的下方,2. 判别法,定理1.,定理2.,设 f (x)在(a,b)内有二阶导数,则 f (x)在(a,b)内的图形是凸的.,则 f (x)在(a,b)内的图形是凹的.,例1.,判定下列曲线的凹凸性,例2.,曲线的凹凸性习例,例1.,判定下列曲线的凹凸性,解:,列表讨论如下:,0,例2.,证明:,定义:,连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为拐点.,定理3 (拐点存在的必要条件),注意:
3、拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,注意:,或者,例3.,曲线的拐点判别习例,例4.,例5.,解:,拐点,拐点,例4.,解:,不存在,拐点,例5.,解:,1. 水平渐近线,则 y=A 是曲线 y = f(x) 的水平渐近线.,2. 铅直渐近线,则 x=a 是曲线 y = f(x) 的铅直渐近线.,3. 斜渐近线,则 y=kx+b 是曲线 y=f(x) 的斜渐近线.,由此可得,例6.,解:,曲线的渐近线习例,利用函数特性描绘函数图形, 一般步骤如下:,(1) 确定函数 f (x)的定义域.,(5) 求出极值,拐点与坐标轴的交点.,(6) 求出渐近线.,(7) 描图.,函数图形的描绘习例,例7.,例
4、8.,例9.,例10.,例7.,解:,(3)列表讨论如下:,(6) 描图如下:,例8.,解:,(3)列表讨论如下:,不存在,不存在,(6) 描图如下:,函数图形的描绘综合运用 函数性态的研究,是导数应 用的综合考察.,解:,定义域为,(2) 求关键点,例9.,(3) 判别曲线形态,(极大),(极小),(4) 求渐近线,为铅直渐近线,无定义,又因,即,(5) 求特殊点,为斜渐近线,(6)绘图,(极大),(极小),斜渐近线,铅直渐近线,特殊点,解: (1) 定义域为,图形对称于 y 轴.,(2) 求关键点,(3) 判别曲线形态,例10.,(极大),(拐点),(极大),(拐点),为水平渐近线,(5) 作图,(4) 求渐近线,思考题：习题2.3 第1题（1）到（2）,思考题参考答案,课堂练习：习题2.3 第24题到第27题,练习参考答案,
