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1、1,第二章 极限与连续,2.1 数列的极限,2.2 函数的极限,2.3 变量的极限,2.4 无穷大量与无穷小量,2.5 极限的运算法则,2.6 两个重要的极限,2.7 利用等价无穷小量代换求极限,2.8 函数的连续性,2,第二章,2.1 数列的极限,定义：由无穷多个数，构成的有序的一列数：,称为无穷数列，简称数列，,简记为,数列中的各个数称为数列的项，,称为通项。,数列,可以看成以正整数,为自变量的函数。,(一) 数列,3,例1,例2,例3,这种数列称为常数数列。,例4,例5,4,1.数列极限的定性描述,引例1.,设有半径为 r 的圆 ,逼近圆面积 S .,如图所示 , 可知,当 n 无限增大
2、时,无限逼近 S (刘徽割圆术) ,用其内接正 n 边形的面积,(二) 数列极限,5,“ 割之弥细 , 所失弥小，割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要极限思想,我国古代魏末晋初杰出数学家刘徽指出：,6,引例,例1中的数列来源于我国一篇古典名著.公元 前四世纪，我国春秋时期的哲学家庄子（约公元前 369前286）在庄子天下篇一书中有一段 富有哲理的名句：“一尺之棰，日取其半，万世不 竭”.我们把逐日取下的棰的长度顺次列出来.,便得到数列,当 n 无限增大时,无限逼近0,7,定义 设,数列,实数。,如果,无限增大时，,无限趋
3、近于常数,则称数列,以,为极限，记作,或,此时，称数列,收敛.,否则（即,时，,不以任何常数为极限）,称数列,发散。,8,说明：(1). 引例1中，圆的面积,(2). 引例2中，剩余棒头的长度,9,观察上例中，数列的极限：,例2中,例3中,例4中,不存在；,时,数列,没有固定变化趋势，发散。,当,例5中，,不存在。当,时,数列,的变化趋势为无限增大，发散。记,10,2、数列极限的定量描述,逐次加入定量成分，把极限定性描述转为定量描述。,(1) 如果,无限增大时，,无限趋近于常数,则称数列,以,为极限.,(2) 当,充分大时，,任意小，则称数列,以,为极限.,(3),当,充分大时，,则称数列,以
4、,为极限.,(4),当 n N 时, 总有,则称数列,以,为极限.,11,定义:,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释(动态地看定义) :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,当 n N 时,12,几点注意,13,14,例6. 已知,证明数列,的极限为1.,证:,因此 , 取,则当,时, 就有,故,由定义来证，,当,时, 就有,当,时, 有,当,时, 有,当,时, 有,对问题进行等价的转化,15,例6. 已知,证明数列,的极限为1.,证2:,欲使,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,16,“N”定义证明,的步骤
5、，,分三步：,第一步，给定任意正数；,第二步，由,寻找正整数N ，这是关键的一步；,第三步，按照定义的模式写出结论.,17,例7. 已知,证明,证:,欲使,只要,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,说明:,取,放大！,18,例8. 设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取,则当 n N 时,就有,故,的极限为 0 .,为什么限制， 可以限制吗？,19,(三) 收敛数列的性质(补充内容),证明思想: 用反证法.,1. 收敛数列的极限唯一.,及,且,假设,选,使a的邻域与 b的邻域不相交,当 n max(N1, N2)时
6、,xn同 时在这两邻域内,矛盾,20,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,21,例4. 证明数列,是发散的.,证: 用反证法.,假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,取,则存在 N ,但因,交替取值 1 与1 ,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当 n N 时 , 有,因此该数列发散 .,22,2. 收敛数列一定有界.,即如果,直观,证明思想,邻域内有几乎所有的xn,邻域内外只有有
7、限个xn,说明: 此性质反过来不一定成立 .,23,证:,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,有,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,虽有界但不收敛 .,数列,24,3. 收敛数列的保号性.,若,且,时, 有,直观:,25,证明思想:,证:,对 a 0 ,取,问: ab时,会有什么结论?,26,推论2:,若数列从某项起,推论1:,若,且,时, 有,27,第二章,2.2 函数的极限,函数极限问题是研究当自变量,趋向于,的变化趋势,或趋向于无穷大时，函数,自变量变化过程有六种形式:, 趋向于一点, 趋向于无穷,28,(一) 自变量趋于有限值时函数的极限,时函数极限的定
8、义,仿数列极限定义,(不论多么小)，,有：,描述,任意地接近,表示,接近,的过程,29,定义 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,若,记作,30,注意,31,例9. 证明,证:,故,对任意的,当,时 ,因此,总有,32,例10. 证明,证:,欲使,取,则当,时 , 必有,因此,只要,33,例11. 证明,证:,故,取,当,时 , 必有,因此,欲使,34,例12. 证明: 当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证 .,必有,放大,只要“大的” 则“小的”必,35,36,(二) 左极限和右极限,37,左极限 :,
9、当,时, 有,类似地，定 义右极限！,38,右极限 :,当,时, 有,定理 1 .,想一想,39,例13. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解:,因为,显然,所以,不存在 .,利用定理1 .,40,由定理1可知，如果左极限和右极限至少有一个不存在，或者存在但不相等，则函数的极限不存在.定理1常用于证明分段函数在分段点处的极限不存在.,解:,因为,显然,所以,利用定理1 .,例14. 研究当 时， 的极限。,41,(三) 自变量x绝对值无限增大时的情形,如图所示，当,无限增大时，函数,的绝对值无限变小，,时，该函数以常数,为极限，记作,可见当,42,定义(定性) . 设,时的极限,记作,则
10、称常数A 为函数,是一个函数，A为常数。,如果在,的过程中,对应函数值,无限趋近于确定值A.,43,定义(定量) 设函数,大于某一正数时有定义,若,时的极限,则称常数A 为函数,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线,44,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .,两种特殊情况 :,时的极限,记作,则称A 为函数,如果在,的过程中,对应函数值,无限趋近于确定值A.,几何意义 :,45,比如，,都有极限，,就不存在极限。,46,例15. 用定义证明,证:,欲使,取,则当,时 , 必有,因此,只要,47,例16.用定义证明,证:,欲使,取,则当,时 , 必有,因此,只要,即,同
11、理，可用定义证明,48,(四) 函数极限的性质,49,局部保号定理,定理2 . 若,且 A 0 ,则存在,( A 0 ),50,证: 已知,即,当,时, 有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,( 0),以A 0为例,51,定理3 . 若在,的某去心邻域内, 且,则,证: 用反证法.,则由定理 2,的某去心邻域 ,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),存在,假设 A 0 ,条件矛盾,故,52,思考: 若定理 3 中的条件改为,是否必有,不能!,如,推论: 若,且,则,利用极限四则运算法则证明 .,提示: 令,53,第二章,2.3 变量的极限,定义,若,在此变化过程中
12、的极限, 记作,则称常数A 为变量,综合各类极限定义, 得一般变量极限定义:,54,定义,若,在那个时刻之后为有界变量.,则称变量,定理,若,为有界变量.,变量,反之, 有界变量未必有极限.,55,第二章,2.4 无穷大量与无穷小量,(一) 无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大,56,定义 . 若任给 M 0 ,总有,则称函数,当,时为无穷大,(正数 X ) ,记作,总存在,57,又如,铅直渐近线。,58,比如，,渐近线,1. 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,注,59,(二) 无穷小,定义 . 若,时 , 函数,则称函数,为,时的无穷小 .,极限为零的变量,称为无穷小.,1、无穷小量的概
13、念,60,当,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,时为无穷小.,说明:,2.零是可以作为无穷小的唯一的数!,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,61,其中(x) 为,时的无穷小量 .,定理 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);,62,证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,63,2、无穷小量的性质,性质1. 有限个无穷小的代数和还是无穷小 .,由此可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,以三个无穷小的和为例！,设,无穷小,无穷小,只需证明，两个无穷小的和 ，仍为无穷小。,分析：,64,时, 有
14、,证:,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,来证,65,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,性质2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,即,66,证:,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,67,推论 2 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,推论 1. 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,都是无穷小,68,例14. 求,解:,利用性质 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,注意，有重要公式：,函数极限与自 变量的变化过 程有关。,69,(三)无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无
15、穷小, 且,则,为无穷大.,则,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,性质3.,说明:,70,(四) 无穷小量阶的比较,都是无穷小,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,观察各极限,71,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,例如 , 当,时,72,例15. 证明: 当,时,证:,73,第二章,2.5 极限的运算法则,则有,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由性质 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,定理. 若,74,说明: 此定理可推广到有限个函数相加、减的情形 .,定理 . 若,则有,证明略 .,说明: 此定理 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),75,例16. 设 n 次多项式,试证,证:,76,定理. 若,且 B0 , 则有,证明略,例17. 设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,若,77,x = 3 时分母为 0 !,例18.,练习 求,78,例19 . 求,
