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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】八年级数学勾股定理竞赛试卷(时间:120分钟,总分:120分)一、选择题(每小题5分,共25分)1、ABC周长是24,M是AB的中点MC=MA=5,则ABC的面积是()A12;B16;C24;D302、如图,在正方形ABCD中,N是CD的中点,M是AD上异于D的点,且NMB=MBC,则AM:AB=()A;B;C;D第(1)题图第(2)题图第(3)题图3、如图,已知O是矩形ABCD内一点,且OA=1,OB=3,OC=4,那么OD的长为()A.2;B.2;C.2;D.34、如图,P为正方形ABCD内一点,PA=PB=10,并且P点到CD边的距离也等于10,那么,正
2、方形ABCD的面积是()A200;B225;C256;D150+105、如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若在AB、AC上各取一点N、M,使得BM+MN的值最小,这个最小值为()A12;B10;C16;D20二、填空题(每小题5分,共25分)第(5)题图6、如图,ABC中,AB=AC=2,BC边上有10个不同的点,记(i=1,2,10),那么,=_。第(6)题图7、 如图,设MPN=20,A为OM上一点,OA=4,D为ON上一点,OD=8,C为AM上任一点,B是OD上任意一点,那么折线ABCD的长最小为_。第(7)题图第(8)题图8、如图,四边形ABCD是直角梯形,且AB=BC=2
3、AB,PA=1,PB=2,PC=3,那么梯形ABCD的面积=_。9、若R+R=12,那么的最小值=_。10、已知一个直角三角形的边长都是整数,且周长的数值等于面积的数值,那么这个三角形的三边长分别为_。三、解答题(共70分)11、(本题10分)如图ABC三边长分别是BC=17,CA=18,AB=19,过ABC内的点P向ABC三边分别作垂线PD,PE,PF,且BD+CE+AF=27,求BD+BF的长度。12、(本题15分)如图,在ABC中,AB=2,AC=,A=BCD=45,求BC的长及BDC的面积。13、(本题15分)设a,b,c,d都是正数。求证:14、(本题15分)如图,四边形ABCD中,
4、ABC=135,BCD=120,AB=,BC=5-,CD=6,求AD。15、(本题15分)如图,正方形ABCD内一点E,E到A、B、C三点的距离之和的最小值为,求此正方形的边长。答案一、选择题1C2A3B4C5C解答:1MA=MB=MC=5,ACB=90知周长是24,则AC+BC=14,AC+BC=10,2ACBC=(AC+BC)-(AC+BC)=14-10=4242如图,延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为O,连TO,则BAMTOBAM:MB=OB:BTMB=2AMBT(1)令DN=1,CT=MD=k,则AM=2k所以BM=BT=2+k代入(1),得4+(2k)=2(2k)(2+k)所
5、以k=所以AM:AB=:2=3如图,过O作EFAD于E,交BC于F;过O作GHDC于G,交AB于H设CF=R,FB=R,AH=s,HB=R,所以OG=R,DG=s所以OF=OB-BF=OC-CF即4-R=3-R所以R-R=169=7(1)同理有OH=1-s=3-t所以t-s=3-1=8(2)又因为OH+HB=OB即R+t=9(1)-(2)得(R+s)(R+t)=1所以OD=R+s=(R+t)1=91=8所以OD=24如图,过P作EFAB于E,交CD于F,则PFCD所以PF=PA=PB=10,E为AB中点设PE=R,则AB=AD=10+R所以AE=AB=(10+R)在RtPAE中,PA=PE+A
6、E所以10=R+(10+R)所以R=6所以正方形ABCD面积=AB=(10+6)=2565如图,作B关于AC的对称点B,连AB,则N点关于AC的对称点N在AB上,这时,B到M到N的最小值等于BMN的最小值,等于B到AB的距离BH,连B与AB和DC的交点P,则=2010=100,由对称知识,PAC=BAC=PCA所以PA=PC,令PA=R,则PC=R,PD=20R,在RtADP中,PA=PD+AD所以R=(20R)+10所以R=12.5因为=PABH所以BH=二、填空题140;212;3;413;56,8,10或5,12,13解答:1如图,作ADBC于D,在RtABD和RtAPD中,AB=AD+
7、BD所以所以所以所以1 如图,作A关于ON的对称点A,D关于OM的对称点D,连结AB,CD,则AB=AB,CD=CD,从而AB+BC+CD=AB+BC+CDAD因为AON=MON=MOD=20,所以AOD=60又因为OA=OA=4,OD=OD=8,所以OD=2OA即ODA为直角三角形,且OAD=90所以AD=所以,折线ABCD的长的最小值是123如图,作PMAB于M,PNBC于N,设AB=m,PM=R,PN=R,则由(2)、(3)分别得,(3)(4)将(1)代入(4)得将(1)代入(5)得把R,R的表达式分别代入(1)得因为m0所以m=5+2所以AB=所以4如图,AB=12,AC=2,BD=3
8、,且ABAC,ABBD,P在AB上且PA=R,PB=R,连PC,PD,在RtCAP和RtDBP中如图,P点在位置时,PC+PD的值最小,为线段CD的长度,而CD=所以的最小值为13。5设三边长为a,b,c,其中c是斜边,则有(2)代入(1)得即因为ab0所以ab4a4b+8=0所以(a,b为正整数)所以b4=1,2,4,8,所以b=5,6,8,12;a=12,8,6,5;c=13,10,10,13,所以,三边长为6,8,10或5,12,13三、解答题1如图,连结PA,PB,PC,设BD=R,CE=R,AF=z,则DC=17-R,EA=18R,FB=19z在RtPBD和RtPFB中,有同理有:将
9、以上三式相加,得即17R+18R+19z=487又因为R+R+z=27,所以R=z1,所以BD+BF=R+(19z)=z1+19z=182如图,作CEAB于E,则CE=AE=所以BE=AB-AE=2-又所以BC=再过D作DFBC,交CB延长线于F,并设DF=CF=R,则BF=RBC=R+1-又RtDFBRtCEB,所以DF:BF=CE:BE,即R:(R+1-)=所以R=所以2 如图,构造一个边长为(a+b)、(c+d)的矩形ABCD,在RtABE中,BE=所以BE=在RtBCF中,BF=在RtDEF中,EF=在BEF中,BE+EFBF即3 如图,过A作AEBC交CD于E,则1=45,2=60,
10、过B作BFAE于F,作CGAE于G,则RtABF为等腰直角三角形,BCFG为矩形,又因为AB=,BC=5-,所以BF=AF=AB=,所以CG=BF=,所以CE=CG=2,EG=CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4过D作DMAE延长线于MMED=180-AED=180-BCD=180-120=60所以EM=DE=2,DM=DE=2在RtAMD中,AD=5如图,以A为中心,将ABE旋转60到AMN,连NB,MB,则AE+EB+EC=AN+MN+EC因为AE=AN,NAE=60所以AE=NE所以AE+EB+EC=MN+NE+EC当AE+EB+EC取最小值时,折线MNEC成为线段,且MC=,MBC=150在RtPMC中,设BC=R,PM=所以所以R=2,BC=2【MeiWei_81重点借鉴文档】