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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】八年级数学勾股定理竞赛试卷（时间：120分钟，总分：120分）一、选择题（每小题5分，共25分）1、ABC周长是24，M是AB的中点MC=MA=5，则ABC的面积是（）A12;B16;C24;D302、如图，在正方形ABCD中，N是CD的中点，M是AD上异于D的点，且NMB=MBC，则AM：AB=（）A;B;C;D第（1）题图第（2）题图第（3）题图3、如图，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的长为（）A.2;B.2;C.2;D.34、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，并且P点到CD边的距离也等于10，那么，正
2、方形ABCD的面积是（）A200;B225;C256;D150+105、如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为（）A12;B10;C16;D20二、填空题（每小题5分，共25分）第（5）题图6、如图，ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点，记（i=1，2，10），那么，=_。第（6）题图7、 如图，设MPN=20，A为OM上一点，OA=4，D为ON上一点，OD=8，C为AM上任一点，B是OD上任意一点，那么折线ABCD的长最小为_。第（7）题图第（8）题图8、如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2
3、AB，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD的面积=_。9、若R+R=12，那么的最小值=_。10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为_。三、解答题（共70分）11、（本题10分）如图ABC三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过ABC内的点P向ABC三边分别作垂线PD，PE，PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的长度。12、（本题15分）如图，在ABC中，AB=2，AC=，A=BCD=45，求BC的长及BDC的面积。13、（本题15分）设a,b,c,d都是正数。求证：14、（本题15分）如图，四边形ABCD中，
4、ABC=135，BCD=120，AB=，BC=5-，CD=6，求AD。15、（本题15分）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长。答案一、选择题1C2A3B4C5C解答：1MA=MB=MC=5，ACB=90知周长是24，则AC+BC=14，AC+BC=10，2ACBC=(AC+BC)-(AC+BC)=14-10=4242如图，延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则BAMTOBAM：MB=OB：BTMB=2AMBT（1）令DN=1，CT=MD=k，则AM=2k所以BM=BT=2+k代入（1），得4+(2k)=2(2k)(2+k)所
5、以k=所以AM：AB=：2=3如图，过O作EFAD于E，交BC于F；过O作GHDC于G，交AB于H设CF=R，FB=R,AH=s,HB=R,所以OG=R,DG=s所以OF=OB-BF=OC-CF即4-R=3-R所以R-R=169=7（1）同理有OH=1-s=3-t所以t-s=3-1=8（2）又因为OH+HB=OB即R+t=9（1）-（2）得(R+s)(R+t)=1所以OD=R+s=(R+t)1=91=8所以OD=24如图，过P作EFAB于E，交CD于F，则PFCD所以PF=PA=PB=10，E为AB中点设PE=R，则AB=AD=10+R所以AE=AB=(10+R)在RtPAE中，PA=PE+A
6、E所以10=R+(10+R)所以R=6所以正方形ABCD面积=AB=(10+6)=2565如图，作B关于AC的对称点B，连AB，则N点关于AC的对称点N在AB上，这时，B到M到N的最小值等于BMN的最小值，等于B到AB的距离BH，连B与AB和DC的交点P，则=2010=100，由对称知识，PAC=BAC=PCA所以PA=PC，令PA=R，则PC=R，PD=20R，在RtADP中，PA=PD+AD所以R=(20R)+10所以R=12.5因为=PABH所以BH=二、填空题140；212；3；413；56，8，10或5，12，13解答：1如图，作ADBC于D，在RtABD和RtAPD中，AB=AD+
7、BD所以所以所以所以1 如图，作A关于ON的对称点A，D关于OM的对称点D，连结AB，CD，则AB=AB，CD=CD，从而AB+BC+CD=AB+BC+CDAD因为AON=MON=MOD=20，所以AOD=60又因为OA=OA=4，OD=OD=8，所以OD=2OA即ODA为直角三角形，且OAD=90所以AD=所以，折线ABCD的长的最小值是123如图，作PMAB于M，PNBC于N，设AB=m,PM=R,PN=R，则由（2）、（3）分别得，（3）（4）将（1）代入（4）得将（1）代入（5）得把R,R的表达式分别代入（1）得因为m0所以m=5+2所以AB=所以4如图，AB=12，AC=2，BD=3
8、，且ABAC，ABBD，P在AB上且PA=R，PB=R，连PC，PD，在RtCAP和RtDBP中如图，P点在位置时，PC+PD的值最小，为线段CD的长度，而CD=所以的最小值为13。5设三边长为a,b,c，其中c是斜边，则有（2）代入（1）得即因为ab0所以ab4a4b+8=0所以(a,b为正整数)所以b4=1，2，4，8，所以b=5，6，8，12；a=12，8，6，5；c=13，10，10，13，所以，三边长为6，8，10或5，12，13三、解答题1如图,连结PA,PB，PC，设BD=R，CE=R，AF=z，则DC=17-R，EA=18R，FB=19z在RtPBD和RtPFB中，有同理有：将
9、以上三式相加，得即17R+18R+19z=487又因为R+R+z=27，所以R=z1,所以BD+BF=R+(19z)=z1+19z=182如图，作CEAB于E，则CE=AE=所以BE=AB-AE=2-又所以BC=再过D作DFBC，交CB延长线于F，并设DF=CF=R，则BF=RBC=R+1-又RtDFBRtCEB，所以DF：BF=CE：BE，即R：(R+1-)=所以R=所以2 如图，构造一个边长为(a+b)、(c+d)的矩形ABCD，在RtABE中，BE=所以BE=在RtBCF中，BF=在RtDEF中，EF=在BEF中，BE+EFBF即3 如图，过A作AEBC交CD于E，则1=45，2=60，
10、过B作BFAE于F，作CGAE于G，则RtABF为等腰直角三角形，BCFG为矩形，又因为AB=，BC=5-，所以BF=AF=AB=，所以CG=BF=，所以CE=CG=2，EG=CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4过D作DMAE延长线于MMED=180-AED=180-BCD=180-120=60所以EM=DE=2，DM=DE=2在RtAMD中，AD=5如图，以A为中心，将ABE旋转60到AMN，连NB，MB，则AE+EB+EC=AN+MN+EC因为AE=AN，NAE=60所以AE=NE所以AE+EB+EC=MN+NE+EC当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，且MC=，MBC=150在RtPMC中，设BC=R，PM=所以所以R=2,BC=2【MeiWei_81重点借鉴文档】
