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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则，在轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，在轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大即无论在轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程
2、、不等式和函数的基础，应引起重视在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像等函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数画指数函数的图像，应抓住三个关键点：二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且（1）求m的值；（2）判定f（R）的奇偶性；（3）判断f（R）在（0，+）上的单调性，并给予证明考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明专题：计算题分析：（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当R=4时代入f（R）解一个指数方程即可；（
3、2）求出函数的定义域R|R0，利用奇偶性的定义判断f（R）与f（R）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可任取0R1R2，只要证明f（R1）f（R2），即可解答：解：（1）因为，所以，所以m=1（2）因为f（R）的定义域为R|R0，又，所以f（R）是奇函数（3）任取R1R20，则，因为R1R20，所以，所以f（R1）f（R2），所以f（R）在（0，+）上为单调增函数点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（R）0考点：指数函数
4、的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质专题：计算题分析：（1）由2R10解得义域为R|R0，关于原点对称f（R）=（）（R）=（）R=f（R），故该函数为偶函数（2）任取RR|R0，当R0时，2R20=1且R0，故，从而当R0时，R0，故f（R）0，由函数为偶函数，能证明f（R）0在定义域上恒成立解答：解：（1）该函数为偶函数由2R10解得R0即义域为R|R0关于原点对称（2分）f（R）=（）（R）=（+）R=（）R=（）R=（）R=f（R）（6分）故该函数为偶函数（7分）（2）证明：任取RR|R0当R0时，2R20=1且R0，2R10，故从而（11分）当R0时，R0
5、，f（R）0，（12分）又因为函数为偶函数，f（R）=f（R）0，（13分）f（R）0在定义域上恒成立（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（R）0解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用例3：已知函数R=aR（a0且a1）在1，2上的最大值与最小值之和为20，记（1）求a的值；（2）求f（R）+f（1R）的值；（3）求的值考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域专题：综合题；函数的性质及应用分析：（1）由R=aR单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（R），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）函数R=aR（a0且a1）在1，
6、2上的最大值与最小值之和为20，且R=aR单调，a+a2=20，得a=4，或a=5（舍去）；（2）由（1）知，=1；（3）由（2）知f（R）+f（1R）=1，得n为奇数时，=1=；n为偶数时，=+f（）=；综上，=点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题题型2：指数函数的图像变换例1：已知函数R=|2R2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当R取何值时，函数有最值，并求出最值考点：指数函数的图像变换专题：综合题；函数的性质及应用分析：（1）函数R=|2R2|图象是由R=2R的图象向下平移2个单位，再将R轴下方的部分翻着到R轴上方得到（2）结合函数的图
7、象，可得函数的减区间和增区间（3）数形结合可得，当R=1时，Rmiin=0解答：解：（1）函数R=|2R2|图象是由R=2R的图象向下平移2个单位，再将R轴下方的部分翻着到R轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（，1，增区间为（1，+）（3）数形结合可得，当R=1时，Rmiin=0点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（R）=a2R+b3R，其中常数a，b满足ab0（1）若ab0，判断函数f（R）的单调性；（2）若a=3b，求f（R+1）f（R）时的R的取值范围考点：指数函数的单调性与特殊
8、点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质专题：函数的性质及应用分析：（1）分a0，b0和a0，b0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=3b时，f（R）=3b2R+b3R=b（3R32R），分b0，b0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a0，b0时，任意R1，R2R，且R1R2，则f（R1）f（R2）=a（）+b（），a0，b0，a（）0，b（）0，f（R1）f（R2）0，即f（R1）f（R2），故函数f（R）在R上是增函数；当a0，b0时，同理，可判断函数f（R）在R上是减函数；（2）当a=3b时，f（R）=3b2R+b3R=b（3R32R）
9、，则f（R+1）f（R）即化为b（3R+132R+1）b（3R32R），若b0，则有3R+132R+13R32R，整理得，解得R1；若b0，则有3R+132R+13R32R，整理得，解得R1；故b0时，R的范围是R1；当b0时，R的范围是R1点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题例2：已知定义在（1，1）上的奇函数f（R）在R（1，0）时，f（R）=2R+2R（1）试求f（R）的表达式；（2）用定义证明f（R）在（1，0）上是减函数；（3）若对于R（0，1）上的每一个值，不等式t2Rf（R）4R1恒成立，求实数t的取值范围考点：指数函数综合题；奇偶性
10、与单调性的综合专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）由f（R）是定义在（1，1）上的奇函数可得f（0）=0，R（0，1）时，f（R）=f（R）=（2R+2R）；从而写出f（R）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于R（0，1）上的每一个值，不等式t2Rf（R）4R1恒成立转化为对于R（0，1）上的每一个值，不等式t恒成立，从而可得解答：解：（1）f（R）是定义在（1，1）上的奇函数，f（0）=0，设（0，1），则R（1，0），则f（R）=f（R）=（2R+2R），故f（R）=；（2）任取R1，R2（1，0），且R1R2，则f（R1）f（R2）=+（+）=，R1R20
11、，0，01，故f（R1）f（R2）0，故f（R）在（1，0）上是减函数；（3）由题意，t2Rf（R）4R1可化为t2R（2R+2R）4R1，化简可得，t，令g（R）=1+，R（0，1），g（R）1+=0，故对于R（0，1）上的每一个值，不等式t2Rf（R）4R1恒成立可化为t0点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题例3：已知函数f（R）=|2R11|，（RR）（1）证明：函数f（R）在区间（1，+）上为增函数，并指出函数f（R）在区间（，1）上的单调性；（2）若函数f（R）的图象与直线R=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中mn，求m+n的取值范围考
12、点：指数函数综合题专题：计算题；证明题分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（R）的图象与直线R=t有两个不同的交点，故有t（0，1）又函数f（R）的图象与直线R=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线R=1的两侧，由mn，得m1n，故可以求出m+n，进而由t（0，1），可求m+n的取值范围解答：解：（1）证明：任取R1（1，+），R2（1，+），且R1R2，=，R1R2，f（R1）f（R2）所以f（R）在区间（1，+）
13、上为增函数（5分）函数f（R）在区间（，1）上为减函数（6分）（2）因为函数f（R）在区间（1，+）上为增函数，相应的函数值为（0，+），在区间（，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（R）的图象与直线R=t有两个不同的交点，故有t（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线R=1的两侧，由mn，得m1n，故2m110，2n110，又A，B两点的坐标满足方程t=|2R11|，故得t=12m1，t=2n11，即m=log2（22t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（22t）+log2（2+2t）=log2（44t2），当0t1时，044t24，log2（44t2）2因此，m+n的取值范围为（，2）（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（R）=（其中e=2.71828是一个无理数）（1）求函数f（R）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断专题：计算题；证明题分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量
