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1、暑期专题辅导材料六 一、本讲进度第六章 不等式 6.3 算术平均数与几何平均数二、主要内容基本不等式：a，b0时，的运用。三、学习指导1、本节给出的两个基本不等式为：a，bR时，a2+b22ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；a，b0时，a+b2（当且仅当a=b时“=”号成立）。这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内 ，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab，ab。对不等式ab，还有更一般的表达式：|ab|。由高一学习可知，称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大
2、于它们的等差中项”。同学们可在二元基本不等式的基础上类比推出三元基本不等式：当a，b，c0时，a+b+c，当且仅当a=b=c时，等号成立，乃至n元基本不等式；当ai0（i=1，2，n）时，a1+a2+an。二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a0，b0时，2，a+2等。当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a1，0b1，求证：logab+logba-2。解题思路分析：由对数函数可知：，logba0，因此由的结构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。 logab0 2=2 logab+-2即 logab+logba-2当且仅当，log
3、a2b=1，logab=-1时，等号成立，此时ab=1。例2、已知x，y，z均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)2。解题思路分析：这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。将y(x+y+z)，xz分别看成是两个因式，得用二元基本不等式： y(x+y+z)+xz=2=2=2当且仅当时等号成立讲评：通过本题的证明，同学们应该知道基本不等式中的
4、a，b不仅指数、字母、单项式，还指多项式，这是数学中的整体思想的一个体现。例3、（1）已知x1，求3x+1的最小值； （2）已知x，y为正实数，且=1，求的最大值； （3）已知x，y为正实数，3x+2y=10，求函数W的最值； （4）已知x0，求函数f(x)=4x+的最小值； （5）已知ab0，求函数y=a+的最小值； （6）求函数y=x(10-x)(14-3x)（0x0，W2=3x+2y+2=10+(3x+2y)=20 W （4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。分母为x的二次，为使积的结果在分式位置上出现x2，应对4x均匀裂项，裂成两项即可。 f(x)=2x+2x+ （5）本题思路同（1
5、）： y=(a-b)+b+ （6）配x项前面系数为4，使得与后两项和式中的x相消 y=(4x)(10-x)(14-3x) = （7）因式为积的形式，设法凑和为常数，注意到=1为常数，应对解析式平方。 y0，y2= y例4、已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=的最小值。解题思路分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。、法一：，由a0得，
6、0b15令t=b=1，1t1时，m=。解题思路分析：分母与分子是一次与二次的关系，通过换元法可转化为基本不等式型。令 ，则t， 2，当且仅当t=1时等号成立 当c1时，1，t=1在函数定义域（，+）内，ymin=2 当c1时，1，1,+)，等号条件不能成立，转而用函数单调性求解。易证函数在，）上递增 t=，x=0时，ymin=评论：求函数（a0，b0，xc，+），c0）的最小值时，有下列结论（1） 若c，当且仅当x=时，； （2）若c，当且仅当x=c时，。例6、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单
7、价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。解题思路分析：这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。若设污水池长为x米，则宽为（米）水池外圈周壁长：（米）中间隔墙长：（米）池底面积：200（米2）目标函数： 同步练习 （一）选择题 1、设a，bR，且ab，a+b=2，则下列不等式成立的是（ ）A、 B、C、 D、3、
8、若a，bR，且ab+bc+ca=1，则下列不等式成立的是（ ）A、a2+b2+c22 B、(a+b+c)23C、 D、a+b+c4、x0，y0，则下列不等式中等号不成立的是（ ）A、2 B、4C、4 D、5、在下列函数中，最小值为2的是（ ）A、（x0） B、（1x10）C、y=3x+3-x（xR） D、（0x1，y1，lgx+lgy=4，则lgxlgy的最大值是（ ）A、2 B、 C、 D、48、设a0，b0，ab，则下列各式中最小的是（ ）A、 B、 C、 D、9、函数，x（0，的最小值是（ ）A、2 B、 C、 D、不存在10、已知x0，y0，x+y4，则下列不等式成立的是（ ）A、 B
9、、1 C、2 D、1 （二）填空题11、若x0，当x=_时，的最大值是_。13、0x3，当x=_时，最小值是_。15、若x（0，当x=_时，有_值是_。 （三）解答题16、正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)8abc。17、已知a0，b0，ab-(a+b)=1，求a+b的最小值。18、若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。19、已知abc，nN+，且恒成立，求n的最大值。20、某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m2的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%。已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？参考答案 （一）选择题1、B。 ab，a0，b0，ab1。2、B。 由ab0得，。3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)=3。4、A。 令t=，则t2，在2，+）上递增，即，不能取到最小值2。5、C。 ，当且仅当，x=0时等号
