环路计算,补偿和仿真

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1、BUCK 电路的环路计算，补偿和仿真 Xia Jun 2010-8-14 本示例从简单的 BUCK 电路入手，详细说明了如何进行电源环路的计算和补偿，并通 过 saber 仿真验证环路补偿的合理性。 一直以来，环路的计算和补偿都是开关电源领域的“难点” ，很多做开关电源研发的工 程师要么对环路一无所知，要么是朦朦胧胧，在产品的开发过程中，通过简单的调试来确定 环路补偿参数。 而这种在实验室里调试出来的参数真的能满足各种实际的使用情况吗？能保 证电源产品在高低温的情况下， 在各种负载条件下， 环路都能够稳定吗？能保证在负载跳变 的情况下收敛吗？ 太多的未知数，这是产品开发的大忌。我们必须明明白白

2、的知道，环路的稳定性如何？ 相位裕量是多少？增益裕量是多少？高低温情况下这些值又会如何变化？在一些对动态要 求非常严格的场合，我们如何折中考虑环路稳定性和动态响应之间的关系？ 有的放矢，通过明确的计算和仿真，我们的产品设计才是科学的，合理的，可靠的。 我们的目标是让产品经得起市场的检验，让客户满意，让自己放心。 一切从闭环系统的稳定性说起，在自动控制理论中，根据乃奎斯特环路稳定性判据， 如果负反馈系统在穿越频率点的相移为 180，那么整个闭环系统是不稳定的。 很多人可能对这句话很难理解，虽然自动控制理论几乎是所有大学工科学生的必修课， 可大部分是是抱着应付的态度的，学完就忘了。 那就再给大家讲

3、解一下吧。 等式：Vout=Vin-Vout*H(S)*G(S) 公式： Vout Vin G S( ) 1G S( ) H S( )+ G(S)/(1+G(S)*H(S)就称之为系统的闭环传递函数，如果 1+G(S)*H(S)=0，那么闭环系 统的输出值将会无限大，此时闭环系统是不收敛的，也即是不稳定的。 G(S)*H(S)是系统的开环传递函数，当 G(S)*H(S)=-1 时，以 S=j 带入，即获得开环系 统的频域响应为 G(j)*H(j)=-1，此时频率响应的增益和相角分别为： gain=-1=1 angle=tan-1(0/-1)=180 从上面的分析可以看出，如果扰动信号经过 G(

4、S)和 H(S)后，模不变，相位改变 180， 那么这个闭环系统就是不稳定的。 但是，别忘了，这是负反馈系统，信号经过 H(S)之后，本身就有 180的相移，所以， 针对负反馈的闭环系统而言，其描述为：如果扰动信号经过系统主电路和反馈系统之后，其 模不变，相位也不变，那么这个系统是不稳定的。为什么相位也不变？因为 G(S)*H(S)造成 的 180相移和负反馈本身造成的 180相移，两者叠加之后是 360，所以等于相位不变。 什么是穿越频率？ G(S)*H(S)对应的增益为 1（即幅值不变）的频率即为穿越频率。换算为 dB 单位： 20log1=0dB。 理论上来说，在穿越频率点上，只要相移不

5、是 180，那么系统就是稳定的。但是由于 模拟系统的离散性（即所有器件的特性都不是固定不变的，随时间和温度在不断的变化） ， 如果相移很接近 180，这时闭环系统是条件稳定的，即有可能进入不稳定状态。所以为了 避免这种情况，要求在穿越频率点上，开环传递函数 G(S)*H(S)的相移应该与 180保持足够 的裕量。这个裕量选取多少比较合适呢？目前在工程应用上通常选取 45，即要求传递函数 G(S)*H(S)的相移应该小于 135，这是兼顾考虑环路稳定性和动态响应速度的折中值，理论 上来说裕量越大越好，但过大的相位裕量会导致动态响应变慢（过阻尼特性） 。 为了保证足够的相位裕量， 我们希望开环传递

6、函数的增益曲线以-1 的斜率穿越 0dB 线。 如果开环传递函数的增益曲线在穿越频率点的斜率为-2， 那么意味着有接近 180的相移， 这 将导致相位裕量明显不足，而如果斜率为-1，那么通常意味着相位有 45以上的裕量。 增益曲线的斜率是如何来的？主电路或反馈补偿电路中，每产生一个极点，开环传递 函数的增益曲线斜率在该极点的转折频率点上就会增加-1，相反的，每产生一个零点，开环 传递函数的增益曲线斜率在该零点的转折频率点上就会增加+1。 不同斜率下的相位裕量如下图所示： 从上图可以看出，如果开环传递函数以-2 的斜率穿越 0dB 线，那么相移接近 180，如 果以-1 的斜率穿越 0dB 线，

7、那么相移接近 90。 从上图也可以看出，如果两者的穿越频率(fc)相同，那么在 0Hz 频率点上，-2 斜率下降 的开环传递函数的增益远远大于-1 斜率下降的开环传递函数，这有什么意义呢？这就是静 态增益，决定了输出值与给定值之间的静态误差。假如给定值是 10V,希望输出也是 10V， 以-1 斜率下降的开环传递函数的静态增益是 20dB，以-2 斜率下降的开环传递函数的静态增 益是 40dB，两者的输出静态误差分别为：10V*（1/10）=1V，10V*（1/100）=0.1V，可见 静态误差相差是多么巨大！所以，我们期望静态增益越大越好。 除此之外，开环传递函数的斜率还对动态响应有巨大影响

8、。假如穿越频率 fc 依然相同， 一个开环传递函数的斜率为-1，另外一个为-2，负载从 90%突然跳变到 10%，那么此时的输 出电压必然会从一个稳态值变化到另外一个稳态值， 这中间的暂态过程称之为动态响应。 对 动态响应影响最大的是穿越频率 fc，我们希望 fc 越大越好，当然为了避免开关频率对控制 环路的影响，fc 必须远小于开关频率，一般取 fc 小于 1/6 的开关频率，一般的开关电源对 于动态响应要求并不十分苛刻，通常 fc 都小于开关频率的 1/10。那么开环传递函数的斜率 对于动态响应有什么影响呢？ 如下图所示： 从上图我们看到，开环传递函数斜率为-2 的情况下，输出电压呈现明显

9、的欠阻尼振荡， 输出电压快速达到下一个稳态值并过冲，随后围绕稳态值阻尼振荡。开环传递函数斜率为-1 的情况下，输出电压呈现明显的过阻尼特性，从一个稳态值缓慢的变化到下一个稳态值。 过阻尼的缓慢变化和欠阻尼的多次振荡都不是我们想要的情况，我们希望动态发生时， 输出能够快速变化到稳定值，同时又不会产生反复的震荡。 那么我们可以结合上面的两种情况，对开环传递函数的斜率做出适当的变化，以达到 较快的动态响应速度。如下图所示： 从上图可以看出，在(1/2)fc 频率处，开环传递函数的斜率由-2 变成-1，可以达到较快的 动态响应，由于传递函数以-1 的效率穿越 0dB 线，也可以获得足够的相位裕量。同时

10、由于 从 0Hz(1/2)fc 之间，开环传递函数以-2 斜率衰减，可以获得很高的静态增益，从而使得静 态误差非常的小。 在这里需要说明的是，考核相位裕量，只需在穿越频率点的相位裕量足够就可以了，在 fc 之前的相位裕量不必严格满足裕量要求。 通过上面的分析，我们已经对环路稳定性，相位裕量，动态响应有了初步的了解，下面 我们就要进入实例，来初步理解如何进行环路补偿的计算和仿真。 还是从最简单的拓扑buck 电路入手吧。 CCM 情况下控制（占空比 d）到输出（电压 Vo）的小信号传递函数： 这个公式是怎么来的？ 大多数的教材上都有推导过程， 我们不需要知道如何去推导主电路的传递函数， 这些已经

11、被 研究的很透彻了，我们只需要拿过来用就可以了。在此推荐一下张兴柱博士的公司网站： WWW，张老师已经把常用拓扑的传递函数都推导出来并放在网站上面了。 下面开始计算，mathcad，不会用的请举手，同志们，时代在进步，要跟上潮流啊！ 做简单的设定，输入 Vg=20V，占空比 0.5，输出 10V，负载电阻 1，其他设定如下： 这是一个典型的低通滤波器，低频时增益保持不变，在 LC 产生的双极点处（频率为 1.16kHz） ，增益曲线以-2 的斜率衰减，在电解电容的 ESR 产生的零点处（频率为 4.5kHz） ， 增益曲线的斜率由-2 变成-1。那么相位的变化情况如何呢？ 看起来还不错，电容

12、ESR 引起的零点部分抵消了 LC 双极点导致的相移，使得在穿越频率 点上还保持足够的相位裕量： 从上面的计算中，可以获得主电路传递函数 G(S)的穿越频率为 7.2kHz，相位裕量为 62.4。 看来我们不需要做补偿啊，穿越频率够大，在穿越频率点上传递函数增益曲线的斜率为-1， 相位裕量也大于 45， 只要让 H(S)=1 就可以保证开环传递函数 G(S)*H(S)获得足够的相位裕 量。可是，静态增益实在太低了，只有 26dB，我们要消除静态误差，就必须使得增益曲线 从 0Hz 开始就以-1 或-2 的斜率下降，补偿是不可避免的。 下面就几种典型的补偿方式做一下介绍： 1. 单极点补偿 2.

13、 单零点补偿 3. 单零单极补偿 4. 双零单极补偿 5. 单零双极补偿 6. 双零双极补偿 根据以上的各种补偿电路，我们应该选择哪一个呢？ 为了提高静态增益，我们需要在原点处产生一个极点，所以如果要做最简单的补偿，我们应 该采用单零单极补偿电路。 假如我们希望开环传递函数 G(S)*H(S)的穿越频率为 10kHz， 而前面计算的 G(S)的穿越频率 为 7.2kHz，那么 H(S)将把整体的穿越频率往后推延 2.8kHz。 H(S)由两部分组成，一部分是我们需要设计的补偿环节 K(S)，另一部分是 PWM 的调制比， 即占空比与调制锯齿波电压幅值之间的比例，称之为 Fm，如下图所示： 当V

14、E=VP时，占空比为 1，所以Fm=1/VP。 H(S)=K(S)*Fm，所以开环传递函数为：G(S)*K(S)*Fm。 K(S)*Fm 在 10kHz 频率点的增益为 20log(R2*Fm/R1)，而 G(S)在 10kHz 频率点的增益为： ，即-3.573dB。 所以有：20log(R2*Fm/R1)=3.573 假定VP=5V。 设定反馈分压电阻为 Rf13k，Rf21k，如下图所示： 在小信号分析时，运放的正极接地，由于运放正负极之间的虚短特性，运放的负极等效 于接地，此时Rf2被短接，Rf1即为补偿网络的电阻R1，即R1=3k。 据此可以求出： R2=22.6 k 希望补偿电路的

15、零点频率为 1/2fc，即 可求出 C1=4.425nF，取标准值 4.7nF。 计算完成之后，让我们来看看补偿的效果吧： 根据计算结果，穿越频率为 10.08kHz，相位裕量为 60.6。 OK，计算完成了，结果是相当完美的，完全达到了我们的设计要求，那么仿真的情况会如 何呢？会与计算吻合吗？ 下面就让我们通过 saber 的环路仿真来体验一下环路测试的效果吧。 不幸的是，我还无法实现闭环仿真来验证开环传递函数 G(S)*H(S)的增益和相位曲线，幸运 的是，开环仿真还是可以进行的，我们可以分别对 Fm*G(S)和 K(S)进行开环仿真，与计算 结果进行对比和相互验证。 要实现频域的环路仿真

16、，就必须用到 saber 中的环路扫描仪 tdsa，它能够向环路注入频率可 变的正弦波信号，通过测试反馈信号，获得两者之间的增益和相位关系。 一共有 5 个脚需要连接相关的信号线， 其中 ON/OFF 是 tdsa 的使能引脚， 通过接入一个 logic clock 就可以实现 tdsa 何时开始扫描，可是停止。Input（measure）的+-线分别接入需要测量 的回馈信号的正负引脚，output（source）的+-线分别接入信号注入点的正负引脚。 需要设置的属性， fbegin：扫描起始频率 fend：扫描截止频率 ampl：注入信号的幅值（信号是以 0 为轴的正弦波） npoints：从 fbegin 到 fend 总共需要扫描的频率点数 max_err：最大误差系数 mode：频率扫描执行的类型 max_nper：每个频点允许扫描的最大周期数 min_nper：每个频点允许扫描的最小周期数 min_tspp：每个扫描周期中允许的最少时间步进数 filter：选择是否需要对输入信