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1、第十四章 统筹问题知识要点 在日常生活和生产中，我们会经常遇到一些事情需要进行合理、科学地安排，既要在指定时间内完成任务，又要考虑到精打细算，用最少的时间、人力、物力，发挥出最大的效率。这就涉及这一章的知识“统筹问题”。它包含的内容非常广泛，例如统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题、物资调运问题、最省运费问题等等，每类问题都有特定的解法。这些来源于生活的实际问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。例1 赵乡长下村召集甲、乙、丙、丁四个村的干部开会，这四个村子，每两个村子都是相距5千米(如下图)，参加会议的人数甲村8人，乙村5人，丙村3人，丁村7人。试求赵乡长应在(
2、)村子召集会议最为合理。 甲村 乙村 丙村 丁村 8人 5人 3人 7人点拔 要使所有参加会议的人所走路程的总和最小，首先，某村人数是总人数的一半以上，该村就是设置会场的最好地点，这称为“小往大靠”。 其次，某村人数不超过总人数的一半，可以把本村人移到邻近 村庄，这称“支往干靠”。解 四村总人数的一半是(8537)211.5(人)，没有一个村庄的人数多于11.5人，属于“支往干靠”。 甲村人数乙村人数8513(人) 丙村人数丁村人数3710(人) 因为1013，所以“小往大靠”。 显然会议地点应选在乙村最为合理。例2 天津和广州同时制成大型电子计算机若干台，天津可调往外地12台，广州可调往外地
3、6台。现决定给成都调去10台，给合肥调去8台，若每台运费如下表所示，问怎样调运运费最省？点拨一 依题意，设广州调往合肥x台(x6)。根据题中的相应数量关系列关于总费用的关系式，再通过对最值问题的讨论，则问题易解。解法一 设广州调往合肥x台(16)，则广州调往成都应为(6x)台，天津调往合肥(8x)台，天津调往成都12(8x)(4x)台，则总费用为： 400x600(6x)500(8x)900(4x) 400x600x500x900x360040003600 200x11200 要使运费最省，只有当x0时，这时总运费为11200元。即天津调运4台到成都，调运8台到合肥，广州的6台全调运至成都，运
4、费最省。点拨二 通常从运费最少的地方考虑，如广州的6台全运给合肥，则合肥还缺2台，再从天津运2台给合肥，其余运给成都。计算总费用，但不一定最少。还应比较一下，需要量多、运费也多的地方如何运才能使运费最省，如广州的6台全运给成都后，再从天津运4台给成都，其余全部运给合肥。计算总运费，比较一下便知，怎样调运运费最少。解法二 通常从运费最少的那个地方考虑，如广州的6台全运往合肥只需40062400(元)，还缺2台，再从天津运来2台运费为50021000(元)，总计：240010003400(元)，与上面计算的从天津调8台到合肥的运费50084000(元)比较是节省了，但总的费用反而多：1090034
5、0012400。这就告诉我们，应该先比较一下，需要量多运费也多的地方如何运最省。如运往成都，广州6台运费60063600(元)，成都还缺少4台，再从天津调运，运费90043600(元)，比直接从天津调运到成都省10900360036001800(元)。因此天津调运4台到成都，调运8台到合肥，广州的6台调运至成都，运费最少。例3 (“华罗庚金杯”决赛试题)有十个村庄，坐落在从水库出发的一条公路上(如下图，距离单位是千米)，要安装水管，从水库送自来水供给各村，可以用粗细两种水管。粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水。粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元。把粗管和细管适当搭
6、配、互相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最节约的方法，费用应是多少？点拨 由题意可知，粗管每千米的费用正好是细管每千米费用的4倍，因此，如果在同一段上要安装4根以上的细管，就应该用一根粗管来代替，便可降低工程的总费用。解 假设从水库到每个村子都各接一根细管(如上图)，那么在AB1、AB2、AB3、AB4、AB5、AB6之间各有10根、9根、8根、7根、6根、5根细管，应该把A与B6之间都换装粗管，工程的总费用将最低，这时的总费用是 8000(3052423)2000(2423225)414000(元)说明 做这类问题时，根据粗管费用是细管费用的a倍(或a倍)，那么最后a(或a1)个村子用细
7、管，这样费用最省。例4 (北京市“迎春杯”竞赛试题)甲地有89吨货物运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨，大卡车运一趟货物耗油14升，小卡车运一趟货物耗油9升。运完这些货物最少耗油多少升？点拨 大卡车载重7吨，运一趟货物用汽油14升，运1吨货平均用汽油1472(升)；小卡车载重4吨，运一趟货物用汽油9升，运一吨货平均耗油942(升)。因为大卡车比小卡车耗油量少，应尽量用大卡车运。解 (1)如果89吨全用大卡车运，要运89713(趟)，耗油1413182(升)。 (2)如果用大卡车运12趟，897125，所以剩下的5吨要用小卡车运2趟，耗油141292186(升)。 (3)如果用
8、大卡车运11趟，8971112，所以剩下的12吨用小卡车运3趟，耗油141193181(升)。 三种方法比较，安排大卡车运11趟，小卡车运3趟耗油最少，最少耗油181升。说明 计算这类问题时要注意，不一定是大、小卡车正好把货物装完才最省油，需要尝试几种运法后才能得出正确答案。例5 (第二届“祖冲之杯”邀请赛试题)某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去。显然公共汽车的速度比自行车的速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可看做是固定不变的)。在任何情况下，他总会采用花时间最少的最佳方案。下表表示他到达A、B、C三地采用最佳方案所需要的时间。为了到达离他8千米的地方，
9、他需要花多少分钟？请简述理由。目的地目的地距住地的路程最佳方案所需时间A地2千米12分钟B地3千米15.5分钟C地4千米18分钟点拨 A、B两地离住地相差1千米，多用3.5分钟；而B、C两地离住地相差1千米，只多用2.5分钟，由此可见，到A、B、C三地采用了不同的方案。由于候车时间是固定的，由常识可知较远处的C地是乘公共汽车，而较近的A地是骑自行车。解 显然去B地不是骑自行车，因为如果去B地采用骑自行车的方案，那么需要的时间是(122)318(分钟)，而实际最佳方案只需15.5分钟，所以去B地是乘公共汽车。 由B、C两地都是乘公共汽车，可知汽车行1千米需1815.52.5(分钟)，由此又可算出
10、候车时间是8分钟。 所以，到达离住地8千米的地方应用乘公共汽车的方案，需要时间是82.5828(分钟)。说明 这类题要根据路程间的相差关系和时间的相差关系来确定出最佳方案。例6 有四辆汽车要派往五个地点运送货物(如右图)，中的数字分别表示五个地点完成任务需要的装卸工人数，五个地点共需装卸工20人。如果有些装卸工可以跟车走，那么应如何安排跟车人数及各点的装卸工人数，使完成任务所用的装卸工总人数最少？点拨一 可用尝试法。因为五个地点中需装卸工最多的是5个人，所以如果每辆车跟5名工人，那么每辆车到达任何一个地点，都能正常进行装卸。由此得到，跟车人数的试探范围是15人。解法一 若每车跟车5人，则各点不
11、用安排人，共需20人；若每车跟车4人，则原来需5人的点还需各安排1人，共需18人； 若每车跟车3人，则原来需5人的点还需各安排2人，原来需4人的点还需各安排1人，共需17人； 同理可求出，每车跟车2人，共需18人；每车跟车1人，共需19人。 可见，安排每车跟车3人，原来需5人的两个点各安排2人，原来需4人的点安排1人，这时所用的装卸工总人数最少，需17人。点拨二 假设有m个地点，n辆车(nm)，m个地点需要的人数按从多到少排列为 A1A2A3Am， 则需要的最少总人数就是前n个数之和，即 A1A2An。 这时每车的跟车人数可以是An1至An之间的任一数。解法二 具体到例6，5个点4辆车，5个点
12、中需要人数最多的4个数之和，即554317(人)就是需要的最少总人数，因为A4A53，所以每车跟车3人。若在例6是只有2辆车，其他条件不变，则最少需要5510(人)，因为A25，A34，所以每车跟车5人或4人。当每车跟车5人时，所有点不再安排人；当每车跟车4人时，需要5人的两个点各安排1人，其余点不安排人。说明 如果车辆数大于地点数，即nm，则跟车人数是0，各点需要人数之和就是总共需要的最少人数。例7 (第四届“希望杯”邀请赛试题)某班40名师生星期天参加植树活动，师生按身体状况分成甲、乙、丙三种人员。他们的任务是挖树坑和运树苗两种活，要求挖树坑30人，运树苗则运得越多越好。甲、乙、丙三种劳动
13、人员的效率，如下表所示，试求最合理的人员分配方案及运树苗总数。点拔 看了题目后，一定会有人觉得这个问题不难解决，可以让甲种人员去挖坑，乙种和丙种人员去运树苗。这确实是一种方案。由于这种方案满足挖30个坑的要求，并且运树苗为220棵(1015710)。但这种方案不是最优方案。我们的目的是在完成挖树坑30个的基础上，使运树苗尽可能多，此时应用的方法是“相对效率”法。解 先求出各种劳动人员的挖坑与运树的相对效率： 甲0.1，乙0.12，丙0.114 由此得到：甲丙乙。 因为乙种人员挖坑的相对效率高，所以优先安排乙种人员去挖坑。乙种人员共15人，挖坑1.21518(个)，这不能完成挖30个树坑的任务，
14、再安排相对效率次高的丙种人员去挖坑，丙种人员共10人，挖坑8个(0.810)，还差4个树坑，最后安排2个甲种人员去挖坑，这样30个树坑的任务全都安排好了，剩下的13名甲种人员是运树，可运260棵(2013)树苗。这显然比前面所得220棵要多，如此得到了最优方案。即由13名甲种人员去运树苗，其余的人员全部去挖树坑。说明 “相对效率”是指一名劳动人员干两种工作的效率之比，如本题中甲种劳动人员挖树坑与运树苗的效率之比是0.1，它是指甲种劳动人员平均运一棵树，相当于他挖0.1个树坑。又如乙种劳动人员的相对效率是0.12，即乙种人员运一棵树，相当于他挖0.12个树坑。如此可知，虽然乙种人员一天内挖树坑或运树苗的单一效率比甲种人员差，但相对效率却比甲高，这就是说乙种人员在挖树坑时要比运树苗发挥的能量更大。解题技巧 统筹问题包含的内容非常广泛，并且每类问题都有特定的解法。如排队问题，一般是把时间少的人或事放在前面；物资调运问题要巧妙设点加以解决；最少人力问题要采用逐步调整法，找出符合要求的答案。有些问题存在着两种或两种以上的方案，需要根据题意选择最佳方案；有些数字问题的分析、解答与两个或两个以上的条件有关系，根据解题的需要同时兼顾这些条件分析思考。在学习过程中，要掌握分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则，调整比较的思想，尝试探索的方法等。竞赛能级训练A 级1.A、
