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1、高斯 - 德国数学家,约翰卡尔弗里德里希高斯（C.F.Gauss，1777年4月30日1855年2月23日），德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并有“数学王子”的美誉。他独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”、素数定理、及算术-几何平均数。1795年高斯进入哥廷根大学，1796年得到了一个数学史上极重要的结果，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。高斯在历史上影响巨大，有“数学王子“、“数学家之王“的美称、被认为是人类有史以来“最伟大的四位数学家之一“（阿基米德、牛顿、高斯、欧拉）。,第十讲 等差数列,200年前，德国有位 数
2、学家叫高斯，他小时候就非 常聪明。一天，他的小学数学老师教完加法后，想要休息一下，便出了一道题目要同学们算算看，题目是：1+2+3+ . +97+98+99+100 = ? 老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要出去时，看见高斯举起小手，问：“高斯，有什么事？”高斯说：“老师我做好了。”老师非 常惊讶的说：“是吗？怎么可能呢。你的答 案是多少？是怎样算出来的呢？”,思考：高斯是怎么算出来的呢？,我们先来看看当时的高斯是怎么回答的。 高斯说：“老师， 1加 至 100 可以排两行，第一行顺 着排，第二行倒过来排。”我们来看一下 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 97 + 98
3、+ 99 + 100 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 4 + 3 + 2 + 1,公式推导,我们两排的第一个数相加是101，第二个相加还是101，第三个还是101，第四个还是101，最后一个还是101，也就是说两排相加共有100个101，也就是10100，那么一排相加的和是101002=5050 所以 和=（1+100）1002=5050,动手算一算,计算 1+2+3+198+199的和。 解析：原式=（1+199）1992 =2002199 =100199 =19900 【注】：计算是基础，利用巧算方法更省力。,认识等差数列,如果一个数从第二项开始，每一项与前面的差都相等
4、，这样的数列叫做等差数列。这个相等的差叫做等差数列的公差，数列中每一个数称为数列的项，并且根据他们所在的位置，第一个数叫做首项，第二个数叫做第二项，以此类推，最后一个数称为末项。这个数列的个数称为项数 例如数列1、3、5、7、9、11、13 2、4、6、8、10 5、8、11、14、17 ,你能根据自己的理解再写出几个等差数列吗，并指出它的首项、末项、项数、公差,下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。 6，10，14，18，22，98； 1，2，1，2，3，4，5，6； 1，2，4，8，16，32，64； 9，8，7，6，5，4，3，2； 3，3，3，3，3，3，
5、3，3； 1，0，1，0，l，0，1，0；,例1：2、5、8、11、14。按这样的规律排列的一串数，其中第21项是多少？ 方法一：采用最笨的办法，直接按照规律，直接写到第21项 方法二：过根据已知的数，列出算式（数出增加的公差） 第二项比首项多1个公差，第三项比首项多2个公差，第21项比首项多20个公差，则第21项比首项多320=60，所以第21项是62 列式：2+（21-1）3=62 思考：这个数列的第40项是多少？,第n项=首项+（项数1）公差,例2 求等差数列 3 ，7 ，11 , 15 ， 的第 20 项,解 ：第20项=首项+（项数1）公差 =3+（201）4 =3+76 =79,新
6、授,例3、小松鼠摘松果，第一天摘了9个，第二天摘了12个，第三天摘了15个，第四天摘了18个，按这样的摘法，第八天小松鼠摘多少松果,通过观察发现这是一个公差为3的等差数列，首项为9，项数为8，公差为3，求末项,9+（8-1）3 =9+21 =30（个）,首项,项数,公差,末项=首项+（项数1）公差,思考：第15天摘了多少松果,项数=（末项-首项）公差+1,例4、有一个数列4，10，16，22，46，这个数列一共有多少项？,方法一：采用最笨的办法，直接按照规律，直接从4数到42 方法二：分析这是一个等差数列，首项为4，末项为46，公差为6,46-4=42,426=7，所以46比4多7个公差，多1
7、个公差是第二项，多2个公差是第三项，多7个公差应该是第8项。 列式：（46-4）6+1=8,补充：64是这个数列的第几项？,例5小明从一个箱子里取乒乓球，第一次去了6个，第二次取了10个，第三次取了14个，就这样每次都比前一次多取4个，最后一次小明取了34个乒乓球，小明一共取了乒乓球多少次？,哇！又是等差数列,那么当取34个乒乓球的时候，比第一次多取了7个4 （346）4=7，就是第8次取得（7+1=8次）,综合算式得（346）4+1 =28 4+1 =8（次）,末项,首项,公差,等差数列 项数=（末项首项）公差+1,例题精讲,例 求数列 3,5,7,9,11,13,15,17的和 解：3+5+7+9+11+13+15+17 =（3+17）82 =80,数列求和的公式为 ： 和=（首项+末项）项数2,练一练,计算下列各式的和 1、 2+4+6+2008 2、3+5+7+9+97,
