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2、似对角化的是（）（A）（B）（C）（D）4、已知三阶矩阵的特征值为，则下列结论中不正确的是（）（A）矩阵是不可逆的（B）矩阵的主对角元素之和为（C）所对应的特征向量正交（D）的基础解系由一个向量构成5、设阶方阵，且对，则（）（A）（B）相似（C）合同（D）同时可相似对角化或不可相似对角化6、设为阶方阵，满足，证明：（1）；（2）矩阵可以相似对角化.7、设为三阶方阵，为三维线性无关列向量组，且有，.（1）求的全部特征值；（2）是否可对角化？8、已知三阶矩阵的特征值为，设（）（A）1（B）2（C）3（D）不能确定三相似对角化中与的计算9、已知是矩阵属于特征值的特征向量，是矩阵属于特征值的特征向量，
3、那么矩阵不能是（）（A）（B）（C）（D）10、已知，其中，求_.11、已知矩阵与相似:（1）求与；（2）求一个满足的可逆矩阵12、设矩阵.问当为何值时,存在可逆矩阵,使得为对角矩阵?并求出和相应的对角矩阵.13、设矩阵,已知有三个线性无关的特征向量,是的二重特征值.试求可逆矩阵,使得为对角矩阵.14、设矩阵与相似,其中.（1）求和的值;（2）求可逆矩阵,使.四的计算15、已知、为三阶矩阵，满足，齐次方程组有非零解，（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使为对角矩阵；（3）求秩；（4）计算行列式；（5）求五对实对称矩阵性质的考查16、设阶实对称矩阵，则()（A）个特征向量两两正交（B）个特征向量组成
4、单位正交向量组（C）重特征值（D）重特征值17、设二阶实对称矩阵的一个特征值，属于的特征向量为，若，则_.18、设三阶实对称矩阵的特征值为,对应于的特征向量为,求.六实对称矩阵的正交相似对角化19、设是阶矩阵，且有个相互正交的特征向量，证明是实对称矩阵20、设三阶对称矩阵A的特征值为，是A的属于特征值的特征向量，记（1）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与其对应的特征向量；（2）求矩阵B七综合21、阶实对称矩阵，且满足条件.（1）求的全部特征值.（2）当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中阶单位矩阵.参考答案一相似矩阵1、【答案】（C）【解析】：（A）中，故和不相似.（B）中，故和不相似.（
5、D）中，的特征值为，的特征值为，故和不相似.由排除法可知：只有（C）中矩阵和可能相似.事实上，在（C）中，和的特征值均为，由于和均可相似对角化，也即和均相似于，故和相似.故选（C）2、【答案】（D）【解析】：由于，可知：存在可逆矩阵，使得.故，可知、.又由于可逆，可知，故.故正确的命题有个，选（D）二相似对角化的条件3、【答案】（D）【解析】：（A）中矩阵为实对称矩阵，可以相似对角化.（B）中矩阵有三个互不相同的特征值：，可以相似对角化.（C）中矩阵特征值为，由于该矩阵秩为，可知其二重特征值有两个线性无关的特征向量，故可以相似对角化.（D）矩阵特征值为，令该矩阵为，可知其二重特征值只有一个线性
6、无关的特征向量，故不可以相似对角化.故选（D）.4、【答案】：（C）【分析】：注意本题是找不正确的答案.根据特征值与行列式的关系及特征值的性质应知A，B正确，而的非零解对应的是零特征值的特征向量.【解析】：根据，知（A），（B）正确；而是单根，因此，即的基础解系只由一个线性无关解向量构成，可知（D）也正确.因此唯一可能不正确的选项是（C）.事实上，由于没有限定为实对称矩阵，故不同特征值的特征向量不一定正交.故选（C）.【评注】：特征值的重数与矩阵的秩的关系：由于矩阵的重特征值最多只能有个线性无关的特征向量，故假设为矩阵的重特征值，则，也即.有两种情况可以确定：一是当矩阵可相似对角化时，必有；二
7、是当为单特征值时，由于，又由于矩阵不满秩，故.本题在确定的基础解系所含向量个数时，用到了上述结论：由于是单特征值，故5、【答案】：（A）【解析】：由知，具有相同特征值，而的特征值为，所以故（A）是正确的.对于（B），（C），（D），可以通过举反例予以排除.例如，则的特征多项式相同，但不相似，否则，矛盾，故可以排除（B）.同时，由于矩阵不可相似对角化，故可排除（D）.最后，由于合同矩阵是在实对称矩阵的范围内讨论，可知（C）不正确.故唯一正确的选项是（A）6、【证明】：（1）由可得，故有.又由于.可知.（2）由于，可知矩阵的特征值必满足，也即的特征值只能为或.由于矩阵可相似对角化的充要条件是有个线
8、性无关的特征向量，故考虑和的特征向量.由于和的特征向量分别为和的解，它们的基础解系中分别含有和个解向量.也即特征值有个线性无关的特征向量；特征值有个线性无关的特征向量.而，可知有个线性无关的特征向量.故矩阵可以相似对角化.7、【解析】：由已知得，又因为线性无关，所以，.所以-1,2是的特征值.是相应的特征向量.又由线性无关，得也线性无关，所以-1是矩阵的二重特征值，即的全部特征值为-1,-1，2.由线性无关可证明线性无关，即矩阵有三个线性无关的特征向量，所以矩阵可相似对角化.【评注】：对于抽象的矩阵，经常利用定义与性质讨论其特征值与特征向量问题8、【答案】：（A）【解析】：因为矩阵有三个不同的
9、特征值，所以必能相似对角化，则有.那么，即.因此.故应选（A）三相似对角化中与的计算9、【答案】：（D）【解析】：若则有即即可见是矩阵属于特征值的特征向量，又因矩阵可逆，因此，线性无关.若是属于特征值的特征向量，则仍是属于特征值的特征向量，故（A）正确.若是属于特征值的特征向量，则仍是属于特征值的特征向量.本题中，是属于的线性无关的特征向量，故仍是的特征向量，并且线性无关，故（B）正确.关于（C），因为均是的特征向量，所以谁在前谁在后均正确.即（C）正确.由于是不同特征值的特征向量，因此不再是矩阵的特征向量，故（D）错误.【评注】：相似对角化中，只要有的对角元是矩阵的个特征值，的列向量是与中特
10、征值对应的个线性无关的特征向量，所得的与就能满足等式10、【答案】：【解析】：由于知，有3个不同的特征值1,2,3.所以，其中.故.【评注】：当矩阵可相似对角化时，由于在式中，对角矩阵的对角元均为的特征值，可逆矩阵的列向量为特征值对应的特征向量.因此，只要知道了矩阵所有的特征值、特征向量，就可以利用等式求出，这是考点相似对角化下的一个重要的命题思路.11、【解析】：（1）的特征值为.由与相似,则的特征值为.故.（2）分别求出的对应于特征值的线性无关的特征向量为.令可逆矩阵,则.12、【解析】：则的特征值为.矩阵与对角矩阵相似属于特征值的线性无关的特征向量为两个.此时，属于特征值的线性无关的特征
11、向量;属于特征值的线性无关的特征向量.令可逆矩阵,则13、【解析】：有三个线性无关的特征向量,则能对角化.又是的二重特征值,则属于有两个线性无关的特征向量,故.此时.由为的另一特征值.属于的线性无关的特征向量;属于的线性无关的特征向量.令.14、【解析】：（1）的特征值为;有特征值.与相似,则与有相同的特征值,故.又.(2)的对应于特征值的特征向量分别为,令可逆矩阵,则.四的计算15、【解析】，因为，所以所以有-1特征值，且其重数至少是2重，因为有非零解，所以有0特征值，且其重数至少是1重，又因为为三阶矩阵，所以-1是二重特征值，0为1重特征值，由于是对称矩阵一定可对角化，所以。因为，且，所以
12、。五对实对称矩阵性质的考查16、【答案】：（C）【解析】：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，但未必两两正交；个特征向量未必是单位正交向量组，故（A），（B）均不正确.由于实对称矩阵必可对角化，的属于重特征值的线性无关的特征向量必有个，故.故本题应选（C）17、【答案】：【分析】：求出所有的特征值特征向量即可.【解析】：设矩阵的特征值为和，对应的特征向量分别为和.因为为实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得，其中.由于相似矩阵的行列式相等，所以所以.又实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，于是可得此方程组的基础解系为.将对应的特征向量单位化.令矩阵，则18、【解析】：设对应于特征值的特征向
13、量为,则与正交,即,其基础解系为.令可逆矩阵,则,故六实对称矩阵的正交相似对角化19、【分析】：个相互正交的特征向量必线性无关，可知可对角化，并且可用正交变换化这对角矩阵.【证明】设个相互正交的特征向量分别为，其对应的特征值分别为，将单位正交化，记为，则用为的特征向量，令，则为正交矩阵，且故有所以有即是实对称矩阵20、【解析】（1）因为三阶对称矩阵A的特征值为且所以B的特征值为4，-2，-2。是A属于2的特征向量，所以也是B属于4的特征向量，因为A是对称矩阵，所以B也是对称矩阵，所以对于B矩阵属于-2的特征向量与属于4的特征向量正交。对于B属于4的特征向量为，属于-2的特征向量为，其中为非零任意常数，是不全为零的任意常数。（2）通过正交化单位化找到实现对角化的正交矩阵Q，使得七综合21、【解析】：设是矩阵的特征值，则存在非零向量，从而.由于，故，由.于是的特征值为.由于，有一特征值为，设另外两个特征值为，由于阶实对称矩阵，从而，故.由知实对称矩阵的特征值为.由于实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是特征值全部大于零，故正定的充要条件是.在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。【MeiWei_81重点借鉴文档】
