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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】古典概型中研究的几类基本问题:抛硬币、掷骰(tu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力.本部分主要讨论古典概率中的四类
2、基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.一、摸球问题例1袋中有个白球,个黑球：(1)从中任取出ab个(a,bN,a,b,试求所取出的球恰有a个白球和b个黑球的概率；(2)从中陆续取出3个球(不返回),求3个球依次为“黑白黑”概率；(3)逐一把球取出(不返回),直至留在袋中的球都是同一种颜色为止,求最后是白球留在袋中的概率.思考方法这里的三个小题,摸球的方式各不相同,必须在各自的样本空间中分别进行处理.(1)中的每一个样本点,对应着从+个球中任取a+b个球的一种取法,无需考虑顺序,属于组合问题.(2)中的每一个样本点
3、,对应着从+个球中依次取出三个球的一种取法,需要考虑先后次序,属于排列问题.(3)中事件的有利场合(摸剩白球)包含了种不同情形：摸剩个白球,-1个白球,1个白球.因此,必须对各种情形分别加以考虑.解(1)设A1表示事件“所取的a+b个球中恰有a个白球和b个黑球”.从+个球中任意摸出a+b个,有种不同取法,此即样本空间所包含的样本点总数.而事件A1所包含的样本点数,相当于从个白球中任取a个,从个黑球中任取b个的取法种数,共种.所以P(A1)=(2)设A2表示事件“取出的3个球依次为黑白黑”.从+个球中依次任取3个,有种取法,此即样本点总数.对于有利场合,第一个和第三个黑球可在个黑球中依次取得,有
4、种取法,第二个白球可在个白球中任取,有种取法.因此,A2所包含的样本点数为.于是P(A2)=(3)袋中只剩白球时(设此事件为A3),取出的球必为个黑球,i个白球(i=0,1,-1).用Bi表示事件“取出个黑球,i个白球,袋中留下的全是白球”(i=0,1,-1),则事件B0,B1,B-1,必两两互不相容,且A3=B0+B1+B-1依概率的有限可加性,有P(A3)=P(B0)+P(B1)+P(B2)+P(B-1)依事件Bi的含义,对于确定的i,它的样本空间就是从+个球中任取i+个球的排列.所以,样本点总数为.注意到i+个球取出后,留在袋中的全是白球,因而在这i+个球中,最后取出的一个应是黑球.这样
5、,事件Bi的有利场合,就是i+-1个球的全排列(个黑球中扣除1个,以保证最后取出的一个必为黑球).显然,i个白球可从个白球中取得,有种取法;-1个黑球可从个黑球中取得,有种取法,从而事件Bi所包含的样本点数为.于是P(Bi)=把诸P(Bi)的值代入(1)式,并注意到+即得P(A3)=评注如果把题中的“白球”、“黑球”换为“正品”、“次品”或“甲物”、“乙物”等等,我们就可以得到各种各样的“摸球问题”.为了让读者对此有深切的体会,我们再来看下面的例子：(1)一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.问：5只都是好的概率为多少？5只中有2只坏的概率为多少？(答案：;)(2)在相应地写有2,
6、4,6,7,8,11,12及13的8张相同的卡片中,任意取出2张,求由所取得的两个数构成的分数为可约的概率.(答案:)(3)从一副扑克牌(52张)中任取6张,求得3张红色的牌和三张黑色的牌的概率.(答案：)(4)用火车运载两类产品,甲类n件,乙类m件.有消息证实,在路途中有2件产品损坏.求损坏的是不同产品的概率.(答案:)(5)一个班级有2n个男生和2n个女生,把全班学生任意地分成人数相等的两组,求每组中男女生人数相等的概率.(答案：)(6)从数1,2,n中任取两数,求所取两数之和和偶数的概率.(答案：当n为偶数时,p=；当n为奇数时,p=)不难发现,上述各个问题的解决,都可以归结为摸球问题(
7、例1(1).我们说摸球问题具有典型意义,原因也正在于此.,二、分球入盒问题例2把n个球以同样的概率分配到(n)个盒子中的每一个中去,试求下列各事件的概率：(1)：某指定n个盒子中各有一球；(2)：恰有n个盒子,其中各有一球;(3)：某指定盒子中恰有m(mn)个球.思考方法解答本题时,要发掘“n个球以同样的概率分配到个盒子中的每一个中去”一语的含义.这句话意思是说,每一个球,被分配到任意一个盒子中去是等可能的；也就是说每一个球各有种不同的去向.解因为n个球中的每一个球,都以同样的概率进入个盒子中的任意一个,所以样本点总数为Nn.(1)n个球分别分配到个预先指定的盒子中去,相当于n个球的全排列,因
8、此事件所包含的样本点数为An,于是P(A)=(2)对于事件,个盒子可自个盒子中任意选取,有种选法,因而事件包含个样本点,于是P(B)=.(8)事件中的个球,可以从n个球中任意选取有种选法,其余的n-m个球可以任意分配到另外-1个盒子中去,有(N-1)n-m种分配法.因而事件包含个样本点.这样P(C)=.评注不难发现当n和确定时P(C)只依赖于m.如果把P(C)记作Pm,依二项式定理有.上述等式的概率意义是十分明显的.就是对于某个指定的盒子来说,进入盒子中的球数不外是0,1,.,n;从而这n+1种情形的和事件为必然事件,其概率必为1.这个问题实质上就是贝努利(Bernoulli)概型.n个球在个
9、盒子中的分布,是一种理想化的概率模型,可用以描述许多直观背景很不相同的随机试验.为了阐明这一点,我们列举一些貌异质同的试验：(1)生日.个人的生日的可能情形,相当于个球放入=365个盒子中的不同排列(假定一年有365天).(2)性别.个人的性别分布,相当于把个球放入=2个盒子中.(3)意外事件.如果把个意外事件按其发生在星期几来分类,相当于个球放入=7个盒子中.(4)掷骰子.掷颗骰子的可能结果,相当于把个球放入=6个盒子中.(5)质点入格.个质点落于个格子中的可能情形,相当于个球分入个盒子中.(6)旅客下站.一列火车中有名旅客,它在个站上都停.旅客下站的各种能情形,相当于n个球分到个盒子中的各
10、种情形.(7)住房分配.n个人被分配到个房间中去住,则人相当于球,房间相当于盒子.(8)印刷错误.个印刷错误在一本具有页的书中的一切可能的分布,相当于个球放入个盒子中的一切可能分布(必须小于每一页的字数).从上面所列举的部分试验,我们不难体会分球入盒的模型的意义.因而使例2成为古典概率中的典型问题之一,为一类实际问题的求解,提供了有效的途径.作为练习,读者可利用本题的思想方法,解答下列各题：(1)同时掷4颗质量均匀的骰子,求出现完全不相同的点数的概率.(答案：)(2)设一个人的生日在星期几是等可能的,求6个人的生日都集中在一星期中任意两天但不是都在同一天的概率.(答案：)(3)有n个质点,每个
11、质点都等可能地落于()个格子中的每一个.试求每一格子至多含一点的概率.(答案：)(4)设有n个人,每个人都等可能地被分配到n个房间中的任一间去住.求恰有一个空房间的概率.(答案:)三、随机取数问题例3从1,2,10这十个数中任取一个,假定各个数都以同样的概率被取中,取后还原,先后取出7个数,试求下列各事件的概率：(1)A1：7个数全不相同；(2)A2：不含10与1；(3)A3：10恰好出现两次；(4)A4：10至少出现两次；(5)A5：取到的最大数恰好为6思考方法本题所及的随机试验,就取样方法来说,属于返回取样.也就是说,把某数取出后还原,下次仍有同样的可能再取到这个数.注意到这一特点,运用上
12、节介绍的思想方法,原题就不难得解.解依题设样本空间就是10个相异元素允许重复的7元排列.所以样本点总数为107(1)事件A1,要求所取的7个数是互不相同的,考虑到各个数取出时有先后顺序之分,所以有利场合相当于从10个相异元素里每次取出7个相异元素的排列.因此,A1所包含的样本点数为.于是P(A1)=.(2)事件A2：先后取出的7个数中不含10与1,所以,这7个数只能从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中取得.注意到实验属于有返回取样,则A2的有利场合,相当于8个相异元素允许重复的7元排列.于是,A2所包含的样本点数为87,有P(A2)=.(3)事件A3中出现的两次10,可以是7次取数中的任
13、意两次,有种取法,其余的5次,每次可以取剩下的9个数中的任一个,共有95种取法.于是A3的有利场合为.由此P(A3)=.(4)事件A4是六个两两互不相容事件“10恰好出现k次”(k=2,3,4,5,6,7)的和,因此P(A4)=.也可以先考察A4的逆事件.这里是事件“10恰好出现一次或一次也不出现”显然P()=.(5)事件A5的有利场合,就是6个相异元素(1,2,3,4,5,6)允许重复的最大数恰好为6的7元排列.这种排列可以分为6出现1次,2次,3次,4次,5次,6次,7次等七类,显然,它们的排列数依次是,于是P(A5)=.事件A5的有利场合数也可以这样来考虑：最大数字不大于6的7元重复排列
14、,有67种,它可以分为两类,一类是最大数恰好是6的7元重复排列；一类是最大数小于6的7元重复排列.注意到第二类重复排列有57种,则第一类重复排列有67-57种.于是P(A5)=.评注例3是一个比较典型的返回取样问题,解题的思想方法,对于同类问题具有指导意义.但决不能把它作为现成的公式乱套,即使同是随机取数问题,也须斟酌题意灵活运用.例如,下面的四个问题,表面看结构相仿,实质上差别较大,读者不妨一试,以资鉴别.(1)电话号码有五个数字组成,求电话号码由完全不同的数字组成的概率.(答案：)(2)某单位印刷的一种单据,编号由五个数字组成,从00001开始,求任取其中一张,编号由完全不同的数组成的概率
15、.(答案:)(3)在0至9这十个数字中,不放回地任取5个,求能排成由完全不同的数字组成的五位数的概率.(答案:)(4)在0至9这十个数字中,有放回地任取5个,求能排成由完全不同的数字组成的6位数的概率.(答案:)四、选票问题例4假定在一次选举中,候选人甲得a票,候选人乙得b票,且ab,试求下列事件的概率：(1)：在计票过程中,甲、乙的票数在某个时刻相等；(2)：在计票过程中,甲的票数总比乙的票数多;(3)：在计票过程中,甲的票数总不落后于乙.思考方法本题结构比较复杂,不大容易入手.为了便于分析,我们不妨考虑一个简化问题,比如,令a=3,b=2这时,样本空间就是3张属于甲的选票和2张属于乙的选票的全排列.显然这是一个不尽相异元素的全排列问题,其排列种数为如果把样本点具体写出来,就是
