【7A文】高中数学专题训练—抽象函数

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1、【MeiWei_81-优质适用文档】高中数学专题训练(一)抽象函数1.已知函数y=f(x)(xR,x0)对任意的非零实数,恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。2已知定义在-2,2上的偶函数,f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1-m)0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.14.函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证:在R上是单调减函数;(3)若且,求证:.15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明:在R上单调递减;(3)设A=,B=,若=,试确定的取值范围.16.已知函数是

2、定义在R上的增函数,设F.(1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数;(2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值;(2)证明:函数是周期函数;(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.18函数对于x0有意义,且满足条件减函数。(1)证明:;(2)若成立,求x的取值范围。19设函数在上满足,且在闭区间0,7上,只有(1)试判断函数的奇偶性;(2)试求方程=0在闭区间-20KK,20KK上的根的个数,并证明你的结论20.已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(xy)f(x)f(y),且当x

3、0时,f(x)0,f(1)2,求f(x)在区间2,1上的值域。21.已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)f(y)2+f(xy),且当x0时,f(x)2,f(3)5,求不等式的解。参考答案:1.解:令=-1,=x,得f(-x)=f(-1)+f(x)为了求f(-1)的值,令=1,=-1,则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。2.分析:根据函数的定义域,-m,m-2,2,但是1-m和m分别在-2,0和0,2的哪个区间内呢?如果就此讨论,将十分复杂,如果注意

4、到偶函数,则f(x)有性质f(-x)=f(x)=f(|x|),就可避免一场大规模讨论。解:f(x)是偶函数,f(1-m)f(m)可得,f(x)在0,2上是单调递减的,于是,即化简得-1m0,令得,(2)任取任取,则令,故函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.(3)由(1)(2)知,而15.(1)证明:令,则当时,故,当时,当时,则(2)证明:任取,则,0,故0是R上的增函数;(2)设为函数=的图象上任一点,则点关于点(的对称点为N(),则,故把代入F得,=-函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.(1)解:为R上的奇函数,对任意都有,令则=0(2

5、)证明:为R上的奇函数,对任意都有,的图象关于直线对称,对任意都有,用代得,即是周期函数,4是其周期.(3)当时,当时,当时,图象如下:y-2-10123456x18.(1)证明:令,则,故(2),令,则,成立的x的取值范围是。19解:(1)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,20KK上有402个解,在-20KK.0上有400个解,所以函数在-20KK,20KK上有802个解.20.解:设,当,即,f(x)为增函数。在条件中,令yx,则,再令xy0,则f(0)2f(0),f(0)0,故f(x)f(x),f(x)为奇函数,f(1)f(1)2,又f(2)2f(1)4,f(x)的值域为4,2。21.解:设,当,则,即,f(x)为单调增函数。,又f(3)5,f(1)3。,即,解得不等式的解为1a3。【MeiWei_81-优质适用文档】

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