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1、【MeiWei_81-优质适用文档】最值问题一、点击高考最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。回顾近几年高考，从题型分布来看，大多数一道填空或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右。特别是20KK年北京卷，选择、填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；20KK年上海卷，填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；20KK年上海卷，填空题一道，解答题也是两道，总
2、分值有近30分，两份试卷中均有一道实际应用问题。由此看来，最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力。可以预见：20KK年的高考命题中，有关最值问题，题型、题量、分值将保持稳定，题目的背景会更贴近学生的实际生活，更关注社会热点问题，难度不会太难。二、考点回顾:分析已有考法，最值问题的呈现方式一般有以下几种：1、函数的最值；2、学科内的其它最值，如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数列的最大项等等；3、字母的取值范围；4、不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，例如：f(x)0对xR恒成立f(x)的最小值0成立，f(x)0对xR恒成立f(
3、x)的最大值0成立；5、实际应用问题：实际应用问题中，最优化问题占的比例较大，通过建模可化为最值问题。这类题已成为这几年高考的热点。可以肯定，这个热度会继续保持。三、知识概要1、求函数最值的方法：“数”和“形”，数形结合：配方法直接法均值不等式法单调性代数方法导数法判别式法间接法有界性函数的图像平面几何知识几何方法线性规划解析几何斜率两点间距离2、求几类重要函数的最值方法；（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；（2）:均值不等式法和单调性加以选择；（3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型：能直接判断线性规划建立目标函数曲函数的最值四、典型例题
4、分析函数的最值例1(20KK全国卷理21)设a为实数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。【考查目的】本题主要考查函数的概念，函数的概念，函数的奇偶性和分段函数的最值等基础知识，考查分类讨论的思路和逻辑思维能力。【例题详解】(1)解法一：常规思路：利用定义。，若都不成立，故不是奇函数；若为偶函数，则，即此等式对恒成立，只能是.故时，为偶数；时，既不是奇函数也不是偶函数。解法二：从特殊考虑：又，故不可能是奇函数。若，则，为偶函数；若，则，知，故在时，既不是奇函数又不是偶函数。（2）当时，由二次函数图象及其性质知：若，函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且。当时，函
5、数。若，函数在上的最小值为，且；若，函数在上单调递增，从而函数函数在上的最小值为。综上所述，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值是。【特别提示】1研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及与是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证。2二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，考察图像的对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论。3本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论。例2、已知函数（1）当时，
6、求函数的最小值；（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围。【考察目的】本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想。【例题详解】（1）当时，。，。在区间上为增函数。在区间上的最小值为。（2）在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为3即【特别提示】1第（1）题中，这类函数，若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。2不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。例3、设P为圆+=1上的动点，则点P到直线的距离的最小值为
7、。【考查目的】本题考查直线和圆的基础知识，解几中的最值问题及多元函数的最值问题，考查数形结合这一重要数学思想方法。【例题详解】解法一：设点P，则点P到直线的距离为：又，令，则当时，有最小值1。解法二：圆心O到直线的距离为2，故圆上的点P到直线的距离的最小值为211。【特别提示】1本题是解析几何中的最值问题，可借助于形的直观性直接求解，如解法二；也可建立目标函数，转而求函数的最值，如解法一。2解法一涉及到求多元函数的最值，一般是通过消元转化为一元函数。3函数的最小值，有很多同学误以为：当cos(取最小值1时，函数有最小值，忽视了绝对值。例4、设曲线在点处的切线与轴，轴所围成的三角形面积为。（1）
8、求切线的方程；（2）求的最大值。【考查目的】本题考查导数公式，导数的几何意义，以及导数的应用等导数的基础知识，考查综合应用能力。【例题详解】（1）在点M（t,e）处的切线的斜率为切线的方程为（2）令得令得令又【特别提示】1.由导数的几何意义知，函数在点M处的导数值就是曲线在点M处的切线的全斜率，这是本题的突破口2.建立目标函数，转而求目标函数的最值，这是通法。3.导数法是求函数最值的通法，但不一定是最佳方法，注意选择。最值的实际应用例1（20KK江苏卷19）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分
9、别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【考查目的】本题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。【例题详解】设投资人分别用万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）是可行域作直线的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，此时纵截距最大，这里点M是直线。解方程组得此时(万元)。时取得最大值。答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保
10、可能的亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。【特别提示】1.有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值。2.本题的条件是一组二元一次不等式组，所求目标函数是二元一次线性函数，所以考虑应用线性规划的知识来求解最值。3.应用线性规划求解最值，关键是目标函数相应的直线的倾角的大小，角的大小不一样，直线经过可行域上的最大值点就不一样。例2（20KK北京卷理19）有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点，且今计划俣建一个中心医院，为同时方便三镇居民就医，准备建在的垂直平分线上的处（建立坐标系如图），（1）若希望点到三镇距离的平方和为最小，点应位于何处？（2）若
11、希望点到三镇的最远距离为最小，点P位于何处？【考查目的】本题主要考查二次函数、分段函数的最值、不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查分数讨论、数形结合等数学思想方法。【例题详解】（1）由题设可知，设点的坐标为（），则点至三镇距离的平方和为当时，函数取得最小值。点的坐标是（）。（2）解法一：至三镇的最远距离为由记当即时，在上是增函数，而在上是减函数。由此可知，当时，函数取得最小值当即时，函数在上先减后增，当时，取得最小值，而可见，当时，函数取得最小值当时，点P的坐标为；当时，点的坐标为（0，0）。其中。解法二：点至三镇的最远距离为由于是当的图象如图（1）所示。当时，函数
12、取得最小值。当的图象如图（2）所示当时，函数取得最小值。当时，点的坐标为当点的坐标为（0，0），其中【特别提示】1.有关涉及用料最省，成本最低，利润最大，距离和最大（小）等应用问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数最值问题来解决。2.解决第（2）问首先要理解“点到三镇的最远距离”的含义，才能分两种情形列式。3.函数的单调性在求最值中有着重要作用，运用函数的单调性求函数的最值，是函数中常用的技巧之一。4.第（2）问的解法二，借助图象比较大小，直观有效，新颖别致，望加以体会。【例3】如图，四边形是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度
13、忽略不计）.新长城公司准备投资建一个大型炬形游乐园（如图所示）问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积.【考查目的】本题考查解析几何，函数最值以及导数应用等基本知识，考查建模解模的能力，考查数形结合的数学思想方法。【例题详解】以为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，依题意可设抛物线方程。四边形ABCD是边长为4的正方形，M为AB中点，点D坐标为（4,2）由此得424抛物线方程为设是曲线MD上任一点，则矩形游乐园面积S对S求导，得令，得解之得或当时，函数为增函数；当时，函数为减函数；所以当时，S有最大值。此时，游乐园最大面积为【特别提示】1.通过建系，可把形的问题转化为数的问题来解决。
14、2.商次整式函数的最值通常应用导数来求解。五、能力训练(一)、选择题1、已知，则的最小值是()A.-2B.2C.-D.2、下列的函数中，最小值为4的是()A.B.C.D.3、函数在闭区间上的最大值、最小值分别是()A.1，-1B.1，-17C.23，-17D.9，-19函数的最小值是().A.B.C.D.35.在区间上，已知函数与在同一点取得相同的最小值，那么在上的最大值()A.B.4C.8D.6、某汽车运输公司为增强市场竞争力，购买了一批豪华客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润(万元)与营运年数为二次函数关系(如图).若使每辆客车营运的年平均利润最大，则每辆客车营运的年数为().A.3B.4C.5D.6(二)、填空题7、已知，则的最小值是_.8、若函数且在上的最大值为14，则实数的
