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1、【MeiWei_81-优质适用文档】平面与空间直线()、平面的基本性质及其推论1、空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法）点在直线上。点不在直线上。点在平面内。点不在平面内。直线、交于点。直线在平面内。直线与平面无公共点。直线与平面交于点。平面、相交于直线。（平面外的直线）表示或。2、平面的基本性质公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：。如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公
2、共点的直线。推理模式：且且唯一如图示：应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上。DCBAEFHG例1如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F求证：E，F，G，H四点必定共线解：ABCD，AB，CD确定一个平面又ABE，AB，E，E，即E为平面与的一个公共点同理可证F，G，H均为平面与的公共点两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，E，F，G，H四点必定共线说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论DCBAl例2M例2如图，已知
3、平面，且l设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）证明梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两条腰AB，CD必定相交于一点，设ABCDM又AB，CD，M，且MM又l，Ml，即AB，CD，l共点说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推理模式：不共线存在唯一的平面，使得。应用：确定平面；证明两个平面重合。例3已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面证明1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，但Ad，如图
4、1badcGFEA图1直线d和A确定一个平面又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，GA，E，A，Ea，a同理可证b，ca，b，c，d在同一平面内abcdHK图22o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K又H，Kc，c,则c同理可证da，b，c，d四条直线在同一平面内说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内本题最容易忽视“三线共点”这一种情况因此，在分析题意时，应
5、仔细推敲问题中每一句话的含义“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。推理模式：存在唯一的平面，使得，。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推理模式：存在唯一的平面，使得。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。推理模式：存在唯一的
6、平面，使得。练习：1如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1的中，A1C1B1D1O1，B1D平面A1BC1P求证：PBO1证明在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1ABB1DD1CC1O1PB1D平面A1BC1P，P平面A1BC1，PB1DB1D平面BB1D1DP平面A1BC1，且P平面BB1D1DP平面A1BC1平面BB1D1D，A1C1B1D1O1，A1C1平面A1BC1，B1D1平面BB1D1D，O1平面A1BC1，且O1平面BB1D1D又B平面A1BC1，且B平面BB1D1D，平面A1BC1平面BB1D1DBO1PBO1说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过
7、这条直线的两个平面上。（）、空间两条直线1、空间两直线的位置关系：（1）相交有且只有一个公共点；（2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；2、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。推理模式：。3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。4、等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等。PABCDbca5、异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：与是异面直线。异面直线的判定方法：判定定理；定义法；反证
8、法是证明两直线异面的有效方法。例1已知不共面的三条直线、相交于点，求证：与是异面直线证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为，那么点P、A、B、C、D都在平面内，直线a、b、c都在平面内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，AD和BC是异面直线。证二：（直接证法）ac=P，它们确定一个平面，设为，由已知C平面，B平面，AD平面，BAD，AD和BC是异面直线。6、异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围：。7、异面直线垂直
9、：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线垂直，记作。8、求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。向量法：用向量的夹角公式。例2在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（A）300450600ACEGFDB例3一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角解：（1）连BC、AD，可证AC，BD，ABC=300，BAD=450，RtACB中，
10、BC=ABcos300=，在RtADB中，BD=ABsin450=在RtBCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2ACBDcos900求得）（2）作BE/l，CE/BD，BECE，则ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BEAE，先求出AE=，再在RtABE中，求得ABE=600。说明：在（3）中也可作CHAB于H，DFAB于F，HF即为异面直线CH、DF的公垂线，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2CHDFcos，求出cos=。9、两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线。理解：因为两条异面直线互
11、相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义。两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：几何法；向量法。例4在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为_（答案：）例5两条异面直线、间的距离是1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为_答案：A1ABB1DD1CC1O练习：1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的中，求证：B1D被平面A1BC1分成12的两段证明：如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，连结B1D1，A1C1
12、，BD，AC设B1D1A1C1M，BDACNM，N分别是B1D1，AC的中点连结BM，D1NBB1DD1，且BB1DD1，四边形BDD1B1是平行四边形在平面BDD1B1中，设B1DBMO，B1DD1NO1，A1ABB1DD1CC1图1MONO1在平行四边形BDD1B1中，D1MNB，且D1MNB，四边形BND1M是平行四边形BMND1，即OMO1D1，O是BO1的中点，即O1OOB1同理，OO1O1DO1OOB1O1D综上，OB1OD1122如图，已知平面、交于直线，AB、CD分别在平面，内，且与分别交于B，D两点若ABDCDB，试问AB，CD能否平行？并说明理由证明：直线AB，CD不能平行
13、否则，若ABCD，则ABCD共面，记这个平面为BCDA lAB，CDAB，D由题知，AB，D，且DAB，根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个平面，与重合同理，与重合与重合，这与题设矛盾AB，CD不能平行3平行六面体ABCDA1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线AA1D1DCC1B1B证明：假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线设直线CD1与BC1共面C，D1CD1，B，C1BC1，C，D1，B，C1CC1BB1，CC1，BB1确定平面BB1C1C，C，B，C1平面BB1C1C不共线的三点C，B，C1只有一个平面，平面与平面BB1C1C重合D1平面BB1C1C，矛盾因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线基础巩固训练1、下列推断中，错误的是（）。CABCD，且A、B、C不共线重合2、判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“”。（1）空间三点可以确定一个平面（）。（2）两条直线可以确定一个平面（）。（3）两条相交直线可以确定一个平面（）。（4）一条直线和一个点可以确定一个平面（）。（5）三条平行直线可以确定三个平面（）。（6）两
