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1、【MeiWei_81-优质适用文档】第六章 不等式第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质。过程：一、引入新课1世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。2过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题二、几个与不等式有关的名称（例略）1“同向不等式与异向不等式”2“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1从实数与数轴上的点一一对应谈起2应用：例一比较与的大小解：（取差）-小结：步骤：作差变形判断结论例三比较大小1和解：；当时=；当时3设且，比较与的大小解：当时；当时四、不等式的性质1性质1：如果，那么；如果
2、，那么（对称性）证：由正数的相反数是负数2性质2：如果，那么（传递性）证：，两个正数的和仍是正数由对称性、性质2可以表示为如果且那么五、小结：1不等式的概念2一个充要条件3性质1、2六、作业：P5练习P8习题6.113补充题：1若，比较与的大小解：-=2比较2sinq与sin2q的大小(0q2p)略解：2sinq-sin2q=2sinq(1-cosq)当q(0,p)时2sinq(1-cosq)02sinqsin2q当q(p,2p)时2sinq(1-cosq)02sinq当时总有第二教时教材：不等式基本性质（续完）目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是
3、具有固有规律的。过程：一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2二、1性质3：如果，那么（加法单调性）反之亦然证：从而可得移项法则：推论：如果且，那么（相加法则）证：推论：如果且，那么（相减法则）证：或证：上式02性质4：如果且,那么；如果且那么（乘法单调性）证：根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：时即：时即：推论1如果且，那么（相乘法则）证：推论1（补充）如果且，那么（相除法则）证：推论2如果,那么3性质5：如果，那么证：（反证法）假设则：若这都与矛盾三、小结：五个性质及其推论口答P8练习1、2习题6.14四、作业P8练习3习题6.15、6五、供选用的例题（或作业）1已知，求证：证
4、：2若，求不等式同时成立的条件解：3设，求证证：又04比较与的大小解：-当时即5若求证：解：6若求证：证：p1又原式成立第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。过程：一、 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：1指出定理适用范围：2强调取“=”的条件二、定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）证明：即：当且仅当时注意：1这个定理适用的范围：2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。三、推广：定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：上式0从而指出：这里就不能保证推论：如果，那么（当且仅当时取
5、“=”）证明：四、关于“平均数”的概念1如果则：叫做这n个正数的算术平均数叫做这n个正数的几何平均数2点题：算术平均数与几何平均数3基本不等式：这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4的几何解释：ABDDCab以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DDAB则从而而半径五、例一已知为两两不相等的实数，求证：证：以上三式相加：六、小结：算术平均数、几何平均数的概念基本不等式（即平均不等式）七、作业：P11-12练习1、2P12习题5.21-3补充：1已知，分别求的范围(8,11)(3,6)(2,4)2试比较与（作差）3求证
6、：证：三式相加化简即得第四教时教材：极值定理目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。过程：一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式二、 若，设求证：加权平均；算术平均；几何平均；调和平均证：即：（俗称幂平均不等式）由平均不等式即：综上所述：例一、若求证证：由幂平均不等式：三、 极值定理已知都是正数，求证：1如果积是定值，那么当时和有最小值2如果和是定值，那么当时积有最大值证：1当(定值)时，上式当时取“=”当时有2当(定值)时，上式当时取“=”当时有注意强调：1最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）2用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、
7、三“相等”四、 例题1证明下列各题：证：于是若上题改成，结果将如何？解：于是从而若则解：若则显然有若异号或一个为0则2求函数的最大值求函数的最大值解：当即时即时当时3若，则为何值时有最小值，最小值为几？解：=当且仅当即时五、 小结：1四大平均值之间的关系及其证明2极值定理及三要素六、 作业：P12练习3、4习题6.24、5、6补充：下列函数中取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？1时23时第五教时教材：极值定理的应用目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。过程：一、 复习：基本不等式、极值定理二、 例题：1求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一：
8、解二：当即时答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）正确的解法是：当且仅当即时2若，求的最值解：从而即3设且，求的最大值解：又即4已知且，求的最小值解：当且仅当即时三、关于应用题1P11例（即本章开头提出的问题）（略）2将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设剪去的小正方形的边长为则其容积为当且仅当即时取“=”即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为四、 作业：P12练习4习题6.27补充：1求下列函数的最值：1(min=6)2()21时求的最
9、小值，的最小值2设，求的最大值(5)3若,求的最大值4若且，求的最小值3若，求证：的最小值为34制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）第六教时教材：不等式证明一（比较法）目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。过程：一、 复习：1不等式的一个等价命题2比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断结论二、作差法：（P1314）1 求证：x2+33x证：(x2+3)-3x=x2+33x2 已知a,b,m都是正数，并且ab，求证：证：a,b,m都是正数，并且a
10、0,b-a0即：变式：若ab，结果会怎样？若没有“aa2b3+a3b2证：(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)a,b都是正数，a+b,a2+ab+b20又ab，(a-b)20(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)0即：a5+b5a2b3+a3b24 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出
11、发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1,t2，则：可得：S,m,n都是正数，且mn，t1-t20即：t1b0时，当ba0时，（其余部分布置作业）作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。四、小结：作差、作商五、作业：P15练习P18习题6.314第七教时教材：不等式证明二（比较法、综合法）目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。过程：一、比较法：a) 复习：比较法，依据、步骤比商法，依据、步骤、适用题型b) 例一、证明：在是增函数。证：设2x10,x1+x2-40又y10，y1y2在是增函数二、 综合法：定义：利用某些已经证明过的
12、不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。i. 已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc证：b2+c22bc,a0,a(b2+c2)2abc同理：b(c2+a2)2abc,c(a2+b2)2abca(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a,b,c是不全相等的正数a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abcii. 设a,b,cR，1求证：2求证：3若a+b=1,求证：证：12同理：，三式相加：3由幂平均不等式：iii. a,b,cR,求证：123证：1法一：,两式相乘即得。法二：左边3+2+2+2=92两式相乘即得3由上题：即：三、小结：综合法四、作业：P1516练习1，2P18习题6.31，2，3补充：1 已知a,bR+且ab，求证：（取差）2 设aR，x,yR，求证：（取商）3 已知a,bR+，求证：证：a,bR+4 设a
