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1、【MeiWei_81-优质适用文档】知识点串讲 必修四第一章：三角函数1.11 任意角1、角的有关概念： 角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 始边终边顶点AOB角的名称： 角的分类： 零角：射线没有任何旋转形成的角正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 2、象限角的概念： 定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S | = + k360 ，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角
2、与整个周角的和注意： kZ 是任一角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差360的整数倍； 角 + k720 与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角3、写出终边在y轴上的角的集合(用0到360的角表示) 解: | = 90+ n180,nZ4、已知角是第三象限角，则2，各是第几象限角？解：角属于第三象限， k360+180k360+270(kZ)因此，2k360+36022k360+540(kZ)即(2k +1)3602(2k +1)360+180(kZ)故2是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角又k180+90k180+135(kZ) 当k
3、为偶数时，令k=2n(nZ)，则n360+90n360+135(nZ) ，当k为奇数时，令k=2n+1 (nZ)，则n360+270n360+315(nZ) ，因此属于第二或第四象限角1.1.2弧度制1、弧度制我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下, 1弧度记做1rad在实际运算中，常常将rad单位省略2、弧度制的性质：半圆所对的圆心角为 整圆所对的圆心角为正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零 角的弧度数的绝对值|=3、弧长公式 弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积证法一:圆的面积为,圆心角为
4、1rad的扇形面积为,又扇形弧长为l,半径为R, 扇形的圆心角大小为rad, 扇形面积证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长，可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多1.2.1任意角的三角函数1、三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值叫做的正弦，记作，即； （2）比值叫做的余弦，记作，即； （3）比值叫做的正切，记作，即； （4）比值叫做的余切，记作，即； 2三角函数的定义域、值域函 数定 义 域值 域3、求函数的值域解： 定义域：cosx0 x的
5、终边不在x轴上 又tanx0 x的终边不在y轴上当x是第象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 , |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx y=-2, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx y=04、诱导公式5、三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.（）（）（）（） 由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单
6、位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。6、利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 与 2 与 解： 如图可知： tan tan 1.2.2同角三角函数的基本关系1、 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：1. （1）商数关系： （2）平方关
7、系：2、已知，并且是第二象限角，求 解：， 又是第二象限角， ，即有，从而， 3、已知，求 4、求证：证法一：由题义知，所以左边=右边原式成立证法二：由题义知，所以又，证法三：由题义知，所以，13诱导公式1、诱导公式（一）诱导公式（二）诱导公式（三）诱导公式（四）sin(pa)=sina cos(p a)=cosa tan (pa)=tana诱导公式(五)诱导公式（六）2、化简：3、4、化简: 5、1.4.1正弦、余弦函数的图象1、正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图
8、象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数y=cosx x0,2p的五个点关键是哪几个？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合： 1.4.2 正弦、余弦函数的性质1、奇偶性： y=cosx是偶函数 y=sinx是奇函数。2、单调性正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k
9、1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.3、有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx的对称轴为x= kZ y=cosx的对称轴为x= kZ4、判断下列函数的奇偶性 (1) (2)1.4.3正切函数的性质与图象1、正切函数的定义域是什么？ 2、，且的图象，称“正切曲线”。y0x 3、正切函数的性质（1）定义域：；（2）值域：R 观察：当从小于，时， 当从大于，时，。（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。4、求下列函数的周期：（1） 答：。 （2） 答：。说明：函数的周期5、求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，
10、 解：1、由得，所求定义域为2、值域为R，周期， 3、在区间上是增函数。1.5函数y=Asin(wx+j)(A0，w0)的图象1、函数y = Asin(wx+j)，(A0，w0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左(j0)或向右(j0)平移|j|个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w1)或伸长(0w1)或缩短(0A1)到原来的A倍，(横坐标不变)。即：平移变换周期变换振幅变换。2、 函数y = sin2x图像向右平移个单位所得图像的函数表达式为 函数y = 3cos(x+)图像向左平移个单位所得图像的函数表达式为 函数y = 2loga2x图像向左平移3个单位所得图像的函数表
11、达式函数y = 2tan(2x+)图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为3、函数y = Asin(wx+j)表示一个振动量时：A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.T：f ：称为“相位” . x=0时的相位，称为“初相”.4、解析：由图象可知A=2，1.6三角函数模型的简单应用1、画出函数y|sinx|的图象并观察其周期.第二章：平面向量2.1.1-2.1.2 向量的物理背景与概念及向量的几何表示A(起点) B（终点）a1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2、向量的表示方法：用有向线段表示；
12、 用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：；向量的大小长度称为向量的模，记作|. 3、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作.2.1.3 相等向量与共线向量1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同
