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1、【MeiWei_81-优质适用文档】类型一：利用柯西不等式求最值例1求函数的最大值解：且，函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为法二：且，函数的定义域为由，得即，解得时函数取最大值，最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式1】设且，求的最大值及最小值。利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10【变式2】已知，求的最值.法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值根据柯西不等式，故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，变式4：设=(1，0，-2)，
2、=(x，y，z)，若x2+y2+z2=16，则的最大值为。【解】=(1，0，-2)，=(x，y，z)=x-2z由柯西不等式12+0+(-2)2(x2+y2+z2)(x+0-2z)2516(x-2z)2-4x4-44，故的最大值为4:变式5：设x，y，zR，若x2+y2+z2=4，则x-2y+2z之最小值为时，(x，y，z)=解(x-2y+2z)2(x2+y2+z2)12+(-2)2+22=49=36x-2y+2z最小值为-6，公式法求(x，y，z)此时，变式6：设x,y,zR，若，则之最小值为_，又此时_。解析：最小值变式7：设a，b，c均为正数且a+b+c=9，则之最小值为解：()(a+b+
3、c)()9(2+3+4)2=81=9变式8：设a,b,c均为正数，且，则之最小值为_解：:，最小值为18变式9：设x，y，zR且，求x+y+z之最大、小值:【解】由柯西不等式知42+（)2+22251(x+y+z-2)25|x+y+z-2|-5x+y+z-25-3x+y+z7故x+y+z之最大值为7，最小值为-3类型二：利用柯西不等式证明不等式基本方法：（1）巧拆常数（例1）（2）重新安排某些项的次序（例2）（3）改变结构（例3）（4）添项（例4）例1设、为正数且各不相等，求证：又、各不相等，故等号不能成立。例2、为非负数，+=1，求证：即例3若，求证：解：，所证结论改为证例4，求证：左端变形
4、，只需证此式即可。【变式1】设a,b,c为正数，求证：，即。同理，将上面三个同向不等式相加得，【变式2】设a,b,c为正数，求证：于是即【变式3】已知正数满足证明。解：又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：，故。类型三：柯西不等式在几何上的应用6ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=。【变式】ABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。且4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)(x2+y2+z2)77x2+y2+z2。柯西不等式等号当且仅当或时成立（k为常数，）利用柯西不等式可处理以下问题：1） 证明不等式例2:已知正数满足证明证明：又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故2） 解三角形的相关问题例3设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：记为的面积，则3） 求最值例4已知实数满足，试求的最值解：即由条件可得，解得，当且仅当时等号成立，代入时，时5）利用柯西不等式解方程例5在实数集内解方程解：又,.即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得，它与联立，可得【MeiWei_81-优质适用文档】
