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1、一、知识点问题 正弦定理：_. 余弦定理：a2_，b2_，c2_. 面积公式：S_.,二、实际应用问题中有关的名称、术语 1仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如右图所示,2方位角：从指北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角 3坡度与坡角：把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度；坡面与水平面的夹角叫做坡角,三、解斜三角形应用题的步骤 1审题：弄清题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称和术语，如仰角、俯角、方位角等； 2画图：将文字语言转化为图形语言和符号语言； 3建模：将要求解的问题归结
2、到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等数学知识建立相应的数学模型； 4求模：求解数学模型，得到数学结论演算过程要算法简练，计算准确； 5还原：把用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义作答,1.解三角形应用题 运用正弦定理、余弦定理解三角形应用问题，通常都是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得到所要求的量，从而得到实际问题的解,(1)解三角形在实际应用中非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边、角的大小，从而得出实际
3、问题的解这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示如下：,其解题的一般步骤： 分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、视角、方位角等； 根据题意，画出示意图； 将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要注意算法简练、正确计算并作答；,检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍其基本思路是：,(2)对有关名称、术语的理解在解决三角形应用题时，经常出现一些有关的名称与术语，如仰角
4、、俯角、方位角、垂直的平面等，要正确理解 垂直平面是指与海平面垂直的平面 仰角与俯角在同一铅垂平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角，如下左图所示,方位角：从指北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角，如方位角是60的图形是上右图，或称北偏东60. 方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角，如南偏西60，指从正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60. 坡角：坡面与水平面的夹角，如图中的. 坡度：是指坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比i tan(越大，坡面越陡)，如图所示,如果将正弦定理、余弦定理看成几个“方程”的话，那么解三角形应用题的实质就是把未
5、知量按方程的思想进行处理，解题时应根据已知量与未知量，合理选择一个比较容易的方程，从而使解题过程简捷另外对实际问题的解，要注意题目中给出的精确度，合理地选取近似值 运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题时，要善于抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理运用正弦定理，一般是将边转化为角，而条件中若给出三边的关系，往往考虑用余弦定理求角,(4)解三角形应用题，主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长和面积公式，因此还需熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角公式因此在解三角形时，要注意把平面几何中的性质与正、余弦定理结合起来，善于发现题目中的隐含条件，才能顺利地解决问题,2数学建模和运算问题 (
6、1)解三角形应用问题时，通常都是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边、角的大小，从而得出实际问题的解，这就是数学建模思想，即从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后经过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解,(2)数学实际应用题在近几年高考命题中所占份量越来越重，体现数学的应用价值，注重数学建模能力的考查，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力 解应用题时，首先要通过逐字逐句阅读原题，弄清题意，知道哪些是已知量，需要求什么？需要用什么知识沟通已知量与未知量的关系？因此也就知道建立什么数学模型了,解三角形
7、应用题中，由于具体问题中给出的数据通常为有效近似值，故运算过程一般较为复杂，可以借助计算器进行运算，当然还应注意做到算法简练、算式工整，计算准确.,在观察实验和日常生活以及建筑设计中，少不了遇到测量距离的远近等问题，如测量两河岸之间的距离，测量航行中海上两个岛屿之间的距离等，这些问题的解决都可利用正、余弦定理解三角形来实现同时借助正、余弦定理还可以进一步解决一些有关三角形的计算问题,解三角形应用题的一般步骤是：(1)准确理解题意，分析题意，分清已知和所求，特别要理解题中的有关名词、术语；(2)根据题意画出示意图；(3)将需要求解的问题归纳为数学问题，即归结到一个或几个三角形中，合理地运用正、余
8、弦定理求解,例1 某观测站C在城A的南偏西20的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A? 分析：本题为解斜三角形的应用问题，要求这人还要走多少路可到达城A，也就是要求AD的长在ACD中，已知CD21千米，CAD60，只需再求出一个量即可,变式训练1 如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离,分析：要求出A，B
9、之间的距离，把AB放在ABC(或ADB)中，但不管在哪个三角形中，AC、BC(或AD、BD)这些量都是未知的再把AC、BC(或AD、BD)放在ACD、BCD中求出它们的值,测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，再依条件结合正弦定理和余弦定理来解解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要搞清它们的区别及联系俯角是指从高处看向低处所形成的角；仰角是指从低处向高处看所成的角测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决,例2 在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线走30 m，测得塔顶的仰角为2，再向前走10 m
10、，测得塔顶的仰角为4，求塔高 解析：解法1：作出图形，由已知在ACD中，ACBC30，ADCD ADC1804，,变式训练2 如图，在塔底B测得山顶C的仰角为60，在山顶C测得塔顶A的俯角为45，已知塔高为AB20 m，求山高DC.,例3 (2010福建卷)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？,(2)为保证小艇在30分钟
11、内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由,(2)设小艇与轮船在B处相遇,解法2：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向设小艇与轮船在C处相遇,变式训练3 如图，甲船在A处，乙船在甲船的南偏东45方向，距A 9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时能最快追上乙船？(精确到度),分析：假设用t小时在C处追上乙船，则在ABC
12、中，AC，BC可用t来表示，进而利用余弦定理求得t，解此三角形即可,变式训练4 现有一块直径为30 cm的钢板，需截去直径分别为20 cm,10 cm的圆形钢板各一块，现需在剩余的钢板中再截出同样大小的圆形钢板两块，问这两块钢板的半径最大为多少厘米？,解析：如图，设A，B分别是直径20 cm和10 cm的圆，D为直径30 cm的圆，则A、B相外切且与D内切，再设截下的两个最大的圆为C、E，则它们与A、B相外切，且与D相内切，连接AB、AC、BC、CD.设C的半径为r. 在ABC中，AB15，AC10r，BC5r，AD5，CD15r.,例5 地球与金星的公转轨道分别是半径为2.98108 km和
13、2.14108 km的近似圆，圆心为太阳某时刻，地球和金星的连线与地球和太阳的连线成18的角，求此时地球与金星之间的距离(地球、金星、太阳均视为点，结果保留3个有效数字) 分析：解决本题的关键是将实际问题转化为三角形模型，从而在三角形中进行求解要注意题中给出的已知条件,解析：如图，设此时刻太阳、地球、金星的位置分别在点O、A、B处，则OA2.98108 km， OB2.14108 km，A18. 由正弦定理知，sinABO 0.4303.,变式训练5 科学植树的一个重要因素就是要考虑阳光对树生长的作用现在准备在一个朝正南方向，倾角为的斜坡上种树，假设树高为h米，当太阳在北偏东而仰角为时，该树在
14、坡面上的影长为多少米？,分析：如图，DE是高度为h的树，斜坡AD朝正南方向，AB为东西方向，BC为南北方向，CBD，ACB，EAC，AED90，影长ADx为未知量，但x难以直接与上述诸已知量发生联系，故设DAC为辅助未知量，以揭示x与诸已知量之间的数量关系，作为沟通桥梁,例6 (一题多解)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如下图)的东偏南(arccos )方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？,分析：本题可以直接
15、进行求解，也可以运用坐标法求解 解析：解法1：设t h后台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t60)km，若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则OQ10t60. 由余弦定理知， OQ2PQ2PO22PQPOcosOPQ. 由于PO300，PQ20t，,解法2：以O为原点，正东方向为x轴的正半轴，建立坐标系，如图所示,变式训练6 (2009海南卷)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤,解析：方案1：需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1，1，B点到M、N的俯角2，2；A，B间的距离d(如图所示),同步检测训练,
