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1、数值计算方法,主讲教师: 张晓颖,2,教材 丁丽娟，程杞元， 数值计算方法，高等教育出版社 参考书 各工科院校相应教材 清华大学,哈工大,西安交大等,3,最后成绩=平时出勤（10%）+作业成绩(10%)+期末考试成绩(80%),答疑：课间 周一、三中午12:0013:00 第三教学楼406 建议或问题：,4,问题：数值计算方法是做什么用的？,求各种数学问题近似解的方法和理论,实际问题,5,主要内容 数值代数 线性方程组求解(第二章,第三章) 特征值计算(第四章) 数值逼近 插值法(第五章) 函数逼近(第六章) 数值微分数值积分(第七章) 非线性方程求解(第八章) 常微分方程数值解法(第九章),
2、6,第一章 误差,1 误差的来源与分类,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差,通过测量得到模型中参数的值 观测误差,求近似解 截断误差,机器字长有限 舍入误差,7,2 绝对误差、相对误差和有效数字,2.1 绝对误差与相对误差,8,例：,9,例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过 5cm, 宽的误差不超过2cm, 如何表示？,哪一个精度高？,10,两种误差限的关系：,11,12,四舍五入的原则： 1.舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位 2.舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位凑成偶数,例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数,0.714, 0.776,
3、 0.733,一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.,13,2.2 有效数字,14,例如,准确到小数点后第 位，,则其准确到小数点后第 位，,15,16,有效数字另一等价定义,17,问题：有效数字的位数和精确度的关系？,考虑相对误差限与有效数字的关系,有效数字和绝对误差限的关系（准确到哪一位）,20,反之,21,解: （用绝对误差限和有效数字的关系）,取三位有效数字.,要使绝对误差限满足,22,解1：相对误差限和有效数字的关系,23,解2:（用绝对误差限和有效数字的关系）,问题：假定1.21及运算过程精确到两位小数，,误差的传播,25,3 数
4、值计算中误差的传播,3.1 基本运算中的误差传播,27,特别地，和、差、积、商的误差公式为：,28,即和、差的绝对误差限不超过各数的绝对误 差限之和，积、商的相对误差限不超过各 数的相对误差限之和.,例 假定运算中数据都精确到两位小数，试求,的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效 数字?,解：,计算结果有2位有效数字.,30,故计算结果有2位有效数字.,31,32,3.2 算法的数值稳定性,算法：设计由已知数据计算问题结果的运算顺序,稳定性：在算法的计算过程中，数据误差和舍入误差 在计算过程中不增长，则称算法是数值稳定 的；否则称算法是数值不稳定的.,33,算法,34,35,36,算法
5、由于,取,按公式,37,38,分析原因：,由算法,对算法,结论：算法数值不稳定，算法数值稳定。,39,4 数值计算中应注意的问题,1. 避免两个相近的数相减,40,解.,若取,则,41,一般地，,当x充分大时，应作变换：,当x 接近零时，应作变换,42,2.避免大数“吃”小数.,计算机浮点数运算导致,绝对值差异很大的数做加减运算时，绝对值小的数被 吃掉.,43,3.避免除数绝对值远小于被除数的绝对值,4.简化计算，减少运算次数，提高效率,如计算n次多项式的值,需 次乘法运算，,次加法运算.,需 次乘法运算，,次加法运算.,45,5.选用数值稳定性好的算法.,Ex. P13. 9, 10, 11
6、, 12,46,47,48,例: a=1.2031, b=0.978经四舍五入得到, 问a+b, ab有几位有效数字?,解:,有三位有效数字,有三位有效数字,51, y,s=No1_chap1_ex13(5,1e-8) y = 1.00000000599562 s = 28,function y,s=No1_chap1_ex13(a,epsilon) %求sqrt(cdots sqrt(a)的近似值 %epsilon为容许误差 %s为所求平方根的次数 %y为近似值 k=1;s=1; x=sqrt(a); while k=1 x1=sqrt(x); s=s+1; if abs(x-x1)epsilon y=x1;break end x=x1; k=1; end,P14 1 数值实验,
