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1、【MeiWei81-优质实用版文档】中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型： 任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段 出现两个或三个中点考虑三角形中线定理 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一” 有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型 三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线
2、倍长构造全等三角形解决问题。如图，在ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：ADCEDB。作用：转移线段和角。（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。如图，在ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：BEDCFD。作用：转移线段和角。（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。如下图，在RtABC中，D为AB中点，则有：（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常
3、隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。在ABCD中:（1）AC=BC=；（2）CD平分；（3）AD=BD=，（4）“知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。如图，在ABC中，D，E分别是AB、AC边中点，则有，。三、练习（一）倍长中线法1.（20XX秋津南区校级期中）已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF2.（
4、2017湘潭）如图，在ABCD中，DECE，连接AE并延长交BC的延长线于点F（1）求证：ADEFCE；（2）若AB2BC，F36求B的度数3.（2017江西萍乡，15）如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF（1）求证：CFAD；（2）若CACB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由4.（20XX鄂尔多斯）如图1，在ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F且AEC2ABE连接BF、AC（1）求证：四边形ABFC的是矩形；（2）在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠ABM，使点B恰好落在线段DF上
5、的点B处（如图2），AB13，AC12，求MF的长5.（2017贵阳,24）（1）阅读理解：如图，在四边形ABCD中，ABDC，E是BC的中点，若AE是BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证AEBFEC，得到ABFC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断AB、AD、DC之间的等量关系为_；（2）问题探究：如图，在四边形ABCD中，ABDC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图，ABCF，AE与BC交于点E，
6、BE：EC2：3，点D在线段AE上，且EDFBAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论（二）倍长类中线法1.（2016秋江都区期中）已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE求证：ABCD2.（2017重庆，24）在ABM中，ABM45，AMBM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC（1）如图1，若，BC5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MDMC，点E是ABC外一点，ECAC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：BDFCEF3.（2017山西，17）已知：如图，在ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BED
7、F连接EF，与对角线AC交于点O求证：OEOF（三）直角三角形斜边中线法1.（2016乌鲁木齐，9）如上图，在RtABC中，点E在AB上，把这个直角三角形沿CE折叠后，使点B恰好落到斜边AC的中点O处，若BC3，则折痕CE的长为（）A.B.C.D.62.（2015乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系GOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点现将此三角板绕点O顺时针旋转120后点P的对应点的坐标是（）AB.C.D.3.（2017新疆，22）如图，AC为O的直径，B为O上一点，ACB30，延长CB至点D，使得CBBD，过点D作DEAC，垂足E在CA的延长线上，连接B
8、E（1）求证：BE是O的切线；（2）当BE3时，求图中阴影部分的面积4.（2017北京，22）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，ADBC，AD2BC，ABD90，E为AD的中点，连接BE（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分BAD，BC1，求AC的长5.（2015北京东城，23）如图，ABC中，BCA90，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AC2DE，求sinCDB的值（四）等腰三角形三线合一1.（2017荆州）如图，在ABC中，ABAC，A30，AB的垂直平分
9、线l交AC于点D，则CBD的度数为（）A.30B.45C.50D.752.（2017陕西，9）如图，ABC是O的内接三角形，C30，O的半径为5，若点P是O上的一点，在ABP中，PBAB，则PA的长为（）A.5B.C.D.3.（2017呼和浩特，18）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线（1）求证：BDCE；（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由（五）中位线法1.（2015郑州）如图，D是ABC内一点，BDCD，AD12，BD8，CD6，E、F、G、H分别是AB、AC
10、、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A.14B.18C.20D.222.（20XX乌鲁木齐，15）如图，ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CFAE于F，AB5，AC2，则DF的长为_3.（2017遵义）如图，ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则AFG的面积是（）A.4.5B.5C.5.5D.64.（2017天津，17）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为_5.（20XX春硚口区期末）如图，已知ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点
11、（1）求证：MD和NE互相平分；（2）若BDAC，EM，ODCD7，求OCB的面积6.（2017云南，20）如图，ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S7.（2017长春）【再现】如图，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DEBC，且（不需要证明）【探究】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：_（只添加一个条件）（2）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O若AOOC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为_.8.（2015巴东县模拟）如图，在四边形ABCD中，ABDC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB，则当ABCDCB90时，求四边形EGFH的面积【MeiWei81-优质实用版文档】
