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1、【MeiWei81-优质实用版文档】专题九：二次函数压轴题【问题解析】中考压轴题是中考必不可少的试题，这类题一般是融代数、几何为一体的综合题，或者是解决实际问题的综合题此类题注重对数学思想方法、探究性思维能力和创新思维能力的考查，涉及的知识比较多，信息量大，题目灵活，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力它符合新课标对学生能力提高的要求从近几年各省市中考数学压轴题来看，作为试卷的最后一题，一般都是循序渐进地设置几个问题，对学生的要求一步步的抬高压轴题涉及知识多，覆盖面广，综合性强，难度系数大，关系比较复杂，解法灵活，既考查了学生的基础知识和基本技能，又考查了学生的数学思想方法和探索创新能力、
2、解决问题能力，是必不可少的近几年来主要以函数和几何综合题、二次函数与代数知识综合应用、一次函数与二次函数综合题、开放探究题等类型出现，【热点探究】类型一：抛物线与三角形的综合问题【例题1】（2016云南省昆明市）如图1，对称轴为直线G=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与G轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在G轴是否存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）由
3、对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；（3）画出符合条件的Q点，只有一种，利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；在直角OCQ和直角CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍【解答】解：（1）由对称性得：A（1，0），设抛物线的解析式为：y=a（G+1）（G2），把C（0，4）代入：4=2a，a=2，y=2（G+1）（G2），抛物线的解析式为：y=2G2+2G+4；（2）如图1，设点P（m，2m2+2m+4），过P作PDG轴，垂足为D，S=S
4、梯形+SPDB=m（2m2+2m+4+4）+（2m2+2m+4）（2m），S=2m2+4m+4=2（m1）2+6，20，S有最大值，则S大=6；（3）如图2，存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形，理由是：设直线BC的解析式为：y=kG+b，把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，直线BC的解析式为：y=2G+4，设M（a，2a+4），过A作AEBC，垂足为E，则AE的解析式为：y=G+，则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），设Q（G，0）（G0），AEQM，ABEQBM，由勾股定理得：G2+42=2a2+（2a+44）2，由得：a1=4（舍），a2=，当a=
5、时，G=，Q（，0）【同步练】（2016浙江省湖州市）如图，已知二次函数y=G2+bG+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作ABG轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部（不包括ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）类型二：抛物线与四边形的综合问题【例题2】2016青海西宁12分）
6、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的M的内接四边形，点A，B在G轴上，MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与G轴垂直，交M于点E，垂足为点M，且点D平分（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出AMD=CMD=AMC=60，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）
7、首先表示出ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标【解答】（1）解：由题意可知，MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在M上，则MA=MB=MC=ME=2，又COMB，MO=BO=1，A（3，0），B（1，0），E（1，2），抛物线顶点E的坐标为（1，2），设函数解析式为y=a（G+1）22（a0）把点B（1，0）代入y=a（G+1）22，解得：a=，故二次函数解析式为：y=（G+1）22；（2）证明：连接DM，MBC为等边三角形，CMB=60，AMC=120，点D平分弧AC，AMD=CMD=AMC=60，MD=MC=MA，MCD，MDA是等边三角形，DC=CM=MA=AD，四
8、边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）解：存在理由如下：设点P的坐标为（m，n）SABP=AB|n|，AB=44|n|=5，即2|n|=5，解得：n=，当时，（m+1）22=，解此方程得：m1=2，m2=4即点P的坐标为（2，），（4，），当n=时，（m+1）22=，此方程无解，故所求点P坐标为（2，），（4，）【同步练】（2016四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系GOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系GOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱
9、形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PMAM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值类型三：抛物线与图形变换的综合问题【例题3】（2016陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=aG2+bG+5经过点M（1，3）和N（3，5）（1）试判断该抛物线与G轴交点的情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可
10、求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与G轴的交点情况；（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程【解答】解：（1）由抛物线过M、N两点，把M、N坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=G23G+5，令y=0可得G23G+5=0，该方程的判别式为=（3）2415=920=110，抛物线与G轴没有交点；（2）AOB是等腰直角三角形，A（2，0），点B在y轴上，B点坐标为（0，2）或（0，2），可设平移后的抛物线解析
11、式为y=G2+mG+n，当抛物线过点A（2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，平移后的抛物线为y=G2+3G+2，该抛物线的顶点坐标为（，），而原抛物线顶点坐标为（，），将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；当抛物线过A（2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，平移后的抛物线为y=G2+G2，该抛物线的顶点坐标为（，），而原抛物线顶点坐标为（，），将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线【同步练】（2016重庆市A卷12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=G2+G+3与G轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交
12、于点C，抛物线的顶点为点E（1）判断ABC的形状，并说明理由；（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E，点A的对应点为点A，将AOC绕点O顺时针旋转至A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A，C1E
13、，AC1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不能，请说明理由类型四：抛物线下的动态最值问题【例题4】（2016贵州安顺14分）如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为G轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）设抛物线的解析式为y=aG2+bG+c（a0），再把A（1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于
14、对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在G轴下方或上方两种情况进行讨论【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=aG2+bG+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=G22G；（2）抛物线的解析式为：y=G22G，其对称轴为直线G=2，连接BC，如图1所示，B（5，0），C（0，），设直线BC的解析式为y=kG+b（k0），解得，直线BC的解析式为y=G，当G=2时，y=1=，P（2，）；（3）存在如图2所示，当点N在G轴下方时，抛物线的对称轴为直线G=2，C（0，），N1（4，）；当点N在G轴上方时，如图，过点N2作N2DG轴于点D，在AN2D与M2CO中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即N2点的纵坐标为G22G=，解得G=2+或G=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，），（2+，）或（2，）【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平
