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1、【MeiWei_81-优质适用文档】数学：代数与几何的交融摘要：对称是现实生活中普遍存在的现象，在中学教材中也有相关的内容，为了使学生能够更好地理解对称，并且打破学生的思维定势，提到对称就想到几何图形，我们引入了抽象的群从代数的角度去解决几何问题。观察我们身边的事物，可以发现，对称是现实世界和日常生活中大量存在的现象，因为“对称”是自然界的一种十分重要的性质，因而它得到广泛的研究和应用。对称也是几何图形的一种非常重要的性质，所以它也成为数学中重要的研究对象。对称已经渗透到了中学的学习当中，初中二年级的教材中删除了原有的三角形全等的内容，而将“平移和旋转”添加进去，研究了旋转对称、中心对称图形以
2、及轴对称图形，用几何变换解释图形的全等，初步研究了图形的一些性质，如今对称和群要走进高中的学习之中，看看它对中学的教学有何帮助。一、从代数的角度给出变换的定义在八年级（上）教材的“平移与旋转”这一章中，给出了平移和旋转一种直观的描述：图形的平行移动称为平移；单摆的单相运动称为旋转，并未给出精确的定义，北京出版社即将出版的选修课本对称与群从映射的角度给出了这些变换完整的定义，当然这些定义都是适时给出的，因为学生在高一时候已经学过了集合和映射的概念。在书中将一个平面看成是点的集合，定义点集到自身的某些映射，分别将具有某些几何性质的映射称为反射、旋转、平移。这就将同学们惯有的思维方式（看到几何题就在
3、头脑中呈现图形）上升到一种抽象思维的角度。并在以往学习的基础上将知识进行了拓宽，给出了平面刚体运动的概念，充实了同学们在变换方面的知识，为今后进一步学习打下基础。二、函数的合成引出变换的合成在中学以往的教材中并未明确提出变换合成这样的定义，只是在课外的练习中做过这样的尝试。例如：在纸上画点，以及与关于点成中心对称的，过点任意画一条直线，观察你发现了什么？在初中教材中，类似于这种练习还存在，其实这其中体现的就是变换的合成问题。对于高中的学生来说想到几何变换的合成问题应该是理所当然的，因为在高二学习函数的同时，就学习过了函数的合成问题，既然函数和几何变换都可以用映射来定义，那么我们应该自然而然想到
4、几何变换的合成问题。从函数的合成引出变换的合成无疑可以培养学生学习的“迁移”能力。在变换合成中有诸如下面的一些结论：反射轴平行的两个反射的乘积是一个平移；反射轴相交的两个反射的乘积是一个旋转等等。这些都是很有用的结论。我们经常运用几何变换来证题，就是通过适当的几何变换把原来的问题转化为另一个易于解决的问题，当欲证命题的题设与结论所涉及的元素比较分散，不易发现它们之间的关系时，可以根据题中所涉及的图形的性质，设法对其（或其部分）施行某种几何变换，把题中已知元素和未知元素的某些数量关系转移到新图形中，以组成新的关系，再设法利用转移后的新关系解决问题，再加上几何变换合成的那些结论可谓是为几何证题添上
5、了一对翅膀。三、映射将平面图形的“对称”推广在中学教材中对图形的对称性的定义比较狭隘，将沿着某条对称轴折叠可以重合的图形称为轴对称图形，定义绕对称中心旋转可以和自身重合的图形为中心对称图形。在新教材中利用平面刚体运动，将平面图形“对称”的概念推广到更一般的情况，只要一个平面图形在平面刚体运动的作用下，仍与原来的图形重合，就称平面图形具有对称性。这就比熟悉的轴对称性、中心对称性广泛得多，也是在以往学习的基础上进行的延伸。书中同时将这种平面刚体运动称为对称变换，这也是一个新的变换概念。在这里新教材中研究了一类特殊的平面图形正多边形的对称变换，为什么首先要研究正多边形，原因就是正多边形既是旋转对称图
6、形又是轴对称图形，这也是研究问题的一种常用方法从特殊到一般。以正三角形为例，寻求了其所有对称变换，我们简单看一下正三角形的对称变换：正三角形有如图所示的三条对称轴和一个对称中心o通过实验可以发现等边三角形在下列变换的作用下保持不变。（1）恒等变换，记作（2）沿对称轴所在直线的反射，记作（3）沿对称轴所在直线的反射，记作（4）沿对称轴所在直线的反射，记作（5）绕中心0，度数为的旋转，记作（6）绕中心0，度数为的旋转，记作正三角形的所有对称变换都是我们熟悉的旋转和反射变换，只不过在原来分别研究的基础上相对将它们集中，因为它们有一个共性：经过变换后的图形仍与原来的图形重合。四、对称群的引入群本是大学
7、课程抽象代数里的内容，而如今在高中却首先在几何变换中出现，比起抽象代数中群的概念，高中课本中以几何变换群出现更容易让学生接受，因为正三角形和正方形的这些对称变换还是比较直观的，无论是旋转还是反射，都可以通过作图而得到比较直观的图形。在这样的情形下再推广到一般的正多边形，正多边形所有的对称变换和对称变换的合成构成对称群，在这个推广过程中又上升到抽象思维的领域，很多学生都会质疑，正多边形的所有对称变换能构成群吗？因为正多边形不象等边三角形和正方形那样可以通过作图而一一来验证，这就激发学生进行继续学习和自主学习，其实从抽象代数的角度很容易就能验证正多边形的对称群问题。五、从平面图形的对称群引入抽象群
8、群的一般概念是抽象的，对于高中学生的学习有一定的难度，从正边形的对称群引入群的一般概念就十分轻松了，这样可以让学生有一个群的模型，在这个基础上引申出群的定义中的乘法的广泛性更易于理解，从而让学生了解更多的集合以及定义在这个集合上的运算都可以构成群。有了群的知识之后，中学数学中的很多问题都可以用群来解释，更确切地说应该用域来解释，所以我觉得在群的概念之后可以简单介绍一下域的概念，这样就可以让学生在中学阶段就可以对数有个比较完整的认识，不同的数可以形成不同的域，如有理数域、实数域、复数域等等。同样有可以使学生对因式分解有更深的理解，在中学里我们学过一定的方法将一个多项式分解成不能再分的因式的乘积，
9、但在那里并没有深入地讨论这个问题，那里所谓的不可再分，常常只是我们看不出来怎样再分下去的意思，并没有严格地讨论它们确实不可分，所谓不能再分的概念不是绝对的，而是相对于其系数所在的数域而言的。例如：分解因式，在有理数域可以分解为，在实数域上可以分解为，在复数域上可以分解为，明确了系数域之后，所谓不能再分才有了确切的含义。六、平面图形的对称群的性质我们已经找到了等边三角形所有的6个对称变换，即，我们研究等边三角形所有的对称变换组成的集合中元素之间的关系，最基本的是看一看它们两两合成的结果。为了方便，我们可以用一个表来表示这种合成的结果。观察表格可得：（1）中的任意两个元素的乘积仍然在中，我们称的这
10、个性质为等边三角形的对称变换合成的封闭性。（2）表格关于主对角线不对称，说明对称变换的合成不满足交换律。（3）表格的每一行（列）的元素两两不同，而且包含了的所有的元素，说明中任一元素，它与中任意两个元素分别相乘，所得的积不等。（4）由于恒等变换I使三角形保持不动，所以对三角形的任意对称变换，故第二行和第二列分别与第一行和第一列相等。（5）每一行都有且只有一个恒等变换，又每一列有且只有一个恒等变换，说明中每个元素的逆变换都是唯一的。对于正方形的所有变换进行类似的研究可以得到类似的结论。一般地，对于一个平面图形的所有的对称变换组成的集合，若把变换之间的合成看作的运算，记作，则这种运算都满足：（1）
11、中的任意的两个变换的合成结果仍然在中。（2）中存在恒等变换（3）中任意一个变换的逆变换仍然在中（4）中的变换的合成满足结合律由群的定义知，连同它的运算构成一个群，称为平面图形的对称群，记作（，），因此，（）是等边三角形的对称群；（）是正方形的对称群。另外我们可以用群的知识来证明，一般地，正边形的所有的对称变换和对称变换的合成它的对称群，称为二面体群，记作（），其中有个元素。从以上的讨论我们可以发现，用变换和群的知识我们可以更快捷更清晰地理解一些图形的各种复杂对称性的相互关系这一中学数学中很难解决的问题，而且打破了一般人的思维定势，使我们的思维领域得到突破，可以提高人们的抽象意识。在全日制普通高中数学新大纲的要求下，一些大学数学里的经典内容被添加到其中作为选修课程，比如：微积分，概率统计等，这些初步的知识可以拓宽学生的网知识面，提高学生的数学素质，而且有时可以很简便的解决一些疑难问题。因为学习变换和对称群的知识基础是映射，而我们在高中学习函数的知识时已掌握了映射的概念，所以我觉得可以而且有必要将“对称和群”的知识让高中的学生有所涉及，这样既可以使他们更深刻透彻地理解以前所学的对称性，又可以使他们对群有所了解，提高他们的抽象思维。/P【MeiWei_81-优质适用文档】
