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1、教学内容：简单的数列问题（一）世界著名的数学家高斯（1777年1855年），幼年时代聪明过人。上小学时，有一天数学老师出了一道题让全班同学计算：123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快地说出了正确答案5050。那些正忙着把这100个数一个一个相加求和的同学大吃一惊!小高斯有什么窍门呢？原来小高斯通过细心观察，发现1100这一串数中，110029939849525051101。即：与这串数首末两端距离相等的每两个数的和，都等于首末两数的和，这样的和为101的数共有100250对。于是小高斯就把这道题巧算为：12399100（1100）10025050像1，2，3，99
2、，100这样的一串数我们称为“等差数列”，下面介绍有关等差数列的概念。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。从第一项开始，后项与前项之差都相等的数称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。例如：（1）5，6，7，8，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）4，12，20，28，804；（4）1，4，8，16，256。其中（1）是首项为5，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为4，末项为804，公差为8的等差数列；（4）中前后两项的差都不相等，它不是等差数列。
3、从高斯的故事我们知道，要想求出像1，2，3，99，100这一等差数列的和，只要用第一个数1与最后一个数100相加求和，再乘以这串数的个数100，最后除以2。由此，我们得到等差数列的求和公式为：数列和（首项末项）项数2例1 计算1231999分析与解 这串加数组成的数列1，2，3，1999是等差数列，公差是1，首项是1，末项是1999，项数是1999。根据等差数列求和公式可解得：原式（11999）199921999000例2 求首项是5，公差是3的等差数列的前1999项的和。分析 等差数列中首项、末项、公差的关系是：末项首项公差（项数1）解 末项53（19991）5999和（55999）1999
4、26000998例3 计算371199分析 这串加数组成的数列是等差数列，公差是4，首项是3，末项是99，但是我们发现项数从题中看不出来，这时就需要先求出项数。根据上例中介绍的等差数列中首项、末项、公差的关系，可以得到：项数（末项首项）公差1解 项数（993）4125原式（399）2521275例4 计算（1）20003695154（2）（2469698100）（135959799）（3）199119981985198211852分析与解 （1）利用第一讲中的知识，“某数连续减去几个数，等于减去这几个数的和”，可将原式转化为：2000（3695154），所以，此题关键是求3695154的和。3
5、695154（354）（543）312579513从而，原式20005131487。（2）同学们可能已经发现和式2498100，1359799中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法。这样做，很自然，也比较简便。有其他更为简单的解法吗？再看题，你会冒出一个好想法：运用加减法性质，先做减法：21，43，65，10099，它们的差都等于1，然后计算等于1的差数有多少个。由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减（以大减小），共得50个差数1，从而，原式（21）（43）（9897）（10099）50（3）利用求解题（2）的经验，容易发现199119883
6、，198519823，523这样，此题就归结为计算上述差的个数。可以这样计算，由于此数列为等差数列，公差是3，由求项数公式可求得项数为：（19912）31664（个）这664个数两两配对做减法运算，共得到6642332个差数，因而3332996思考 还可以怎样计算出差的个数？（还可根据每个括号中被减数所组成的等差数列的项数。）例5 20001999199919981998199719971996433221解原式1999（20001998）1997（19981996）3（42）21（1999199731）2（19991）（19991）2122200010002000000小结 解简单的数列问题
7、，首先要判断该数列是否为等差数列，再找出首项、末项、项数等相关量，最后运用相应公式正确求解。【能力训练】1计算：（1）123767778（2）135959799（3）261014202206210（4）47102922952982求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。3求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。4计算：（1）4000123767778（2）560557554551500497（3）2041981921862418126*5计算：（1）（1351999）（2461998）（2）12345678910111225262728参考答案【能力训练】1（1）（178）78
8、23081（2）（199）5022500（提示：1到100这一百个自然数中奇、偶数各一半）（3）（2210）（2102）4125618（4）（4298）（2984）312149492（593）（935）41211273末项13（301）5158和（13158）30225654（1）4000（12378）4000（178）78240003081919（2）31133（等差数列560，557，554，551，500，497，共有（560497）3122项）（3）617102（等差数列204，198，192，12，6，共有（2046）6134项）*5（1）1（32）（54）（76）（19991998
9、）199911000（2）（123425262728）2（482428）（128）2822（428）（284）412291416141314182教学内容：简单的数列问题（二）上一讲中，我们学习了什么是等差数列，等差数列的求和公式，以及求项数、末项的公式。这一讲，我们介绍如何利用这些公式，解决与等差数列有关的问题。例1 求所有被2除余数是1的三位数的和。分析 首先应分析一下被2除余数是1的三位数是哪些数。能被2整除的三位数中最小的是100，所以被2除余数是1的三位数中最小的是101。采用同样的办法可知，三位数中最大的被2除余1的数是999，而且这样的三位数前后两数都差2，因此它们构成一个等差数
10、列，故可以利用等差数列求和公式求和。解 所求的三位数的和是101103105999项数（999101）2189821450和 （101999）4502247500答：所有被2除余数是1的三位数的和是247500由例1可以看出，解这种类型题目的关键是根据题意正确地找出满足条件的数列，然后求和。例2 1至100内所有不能被5或9整除的数的和是多少？分析与解 如果要直接找出1至100内所有不能被5或9整除的数比较麻烦，因此我们采用间接的办法来解。可以先分别找出能被5或9整除的数，并求出它们的和，然后再从123100的和中减去它们的和，即为所求的解。1至100内所有能被5整除的数是5，10，15，10
11、0，这个等差数列的项数（1005）51955120，因此51015100（5100）20210520210501至100内所有能被9整除的数是9，18，27，99，这个等差数列的项数（999）9111，因此，9182799（999）112108112594应该注意到，1至100内45，90这两个数既能被5整除，又能被9整除，因此在上面两个数列的求和中都有45、90这两个数。所以，1至100内所有不能被5或9整除的数的和是：（123100）（51015100）（9182799）（4590）505010505941353541由例2可以看出，解这种类型的题目时，如果直接找数列比较困难，那么可以采用
12、间接的方法求解。另外，解题时分析思考要周密细致，列算式时不要重复，也不要遗漏。例3 用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图41所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴？分析与解 如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的3个三角形（向上的三角形2个；向下的三角形1个）看作第二层，那么这个图中一共有10层三角形。这10层三角形每层所需火柴根数，自上而下依次为：3，6，9，310。它们成等差数列，且首项为3，公差为3，项数为10。求火柴的总根数，也就是求这个等差数列各项的和，即36930
13、（330）102335165（根）所以，一共要放165根火柴。例4 15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？分析与解 我们先来看一个简单的五个连续奇数求和的情况。例如，35791135可以看出，用这五个连续奇数的中间一项7乘以项数5也可以得到和为35。反过来，用和35除以项数5就可以得到它们的中间项7。根据这一经验，对于例4，已知15个连续奇数的和是1995，可求得这个等差数列的中间一项是199515133。现在如果把中间一项看作是第1项，那么原来的末项，即第15项就是现在的第8项。这一项，也就是最大的奇数为：133（81）213314147思考 仿照此例题的解法，求这15个连续奇数中最小的奇数。例5 盒子里放有1只球，一
