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1、,理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质； 理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义； 掌握定轴转动的转动定律和角动量定理； 掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。,教学要求,5-1 刚体的平动、转动和定轴转动 一、刚体（理想模型）,刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动，叫做平动。如车刀、活塞等。因为在平动时刚体上所有点的运动轨迹都相同，各时刻各个质点的位移、速度、加速度都相同，所以可当作质点来处理。,二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态） 1、平动,在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体称为刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。,说明：,1. 理想模
2、型； 2. 在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移； 3. 内力无穷大的特殊质点系。,下面再看一个平动演示。,平 动,如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，则称刚体作转动。转动的轴线可变也可不变，若轴线固定不动，则称定轴转动。作定轴转动的刚体上的各点，在运动中都绕同一转轴作不同半径的圆周运动。而且，刚体上各点在相同时间内转过相同的角度。,2、转动,刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动。 如,滚动轴心的平动+绕轴心的转动,抛体质心的抛物线运动+绕质心的转动,进动绕转轴转动+转轴绕定轴的转动,描述刚体定轴转动的物理量,1. 角位置，角位移,运动方程：,角位置 ：位矢与 ox 轴夹角。,
3、角位移 d ：dt 时间内角位置增量。,1、刚体上各质点的角位移，角速度和角加速度均相同； 2、各质点都在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。圆心在转轴上。,三、定轴转动 刚体的定轴转动特点：,3. 线量与角量的关系,方向垂直 和 组成的平面,2. 角速度和角加速度,定轴转动只有两个转动方向。,规定：,位矢从o x 轴逆时针方向转动时角位置 为正，反之，为负。,若 是定值，刚体的运动称为：,若 是定值，刚体的运动称作：,匀角速转动,匀变速转动（或匀加速转动),刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似：,为恒矢 为恒值,例1、一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系为 ，k为比例系数，设初始
4、角速度为 。求： 飞轮角速度与时间的关系； 当角速度由 时，在此时间内飞轮转过的圈数。,解：,在此时间内车轮转过的圈数=,一、力矩 1、定义： 转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。,力矩的表示式：,大小：,2、注意：合力矩 合力的力矩 合力矩=力矩的和 (矢量和） （对定轴转动而言为代数和） 合力为零，合力矩不一定为零,方向：,5-2 力矩、转动定律、转动惯量,合力矩为零，合力不一定为零,力不在垂直于转轴的平面内， 只有 对转轴力矩有贡献。,问：一对作用力与反作用力的力矩和等于多少？,零,由此推知：质点组对任一轴的内力矩之和为零。,力矩: 合力:,中心力（过转轴的力）的 力矩0，如推门。,定
5、点力矩：,垂直 和 构成的平面。,定轴力矩：,合力矩：,M 只有两个方向，可用正、负表示。,而且有：,与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。,归结起来：,二、转动定律 力矩是改变转动状态的原因，是产生角加速度的原因。 转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性，在一定力矩作用下，转动惯性大的物体获得的角加速度小，反之则大。所以，物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性成反比。若用J 表示转动惯性（J 称为转动惯量）则有：,在国际单位制中，k = 1 则上式为,它说明了力矩的瞬时作用规律。什么时刻有力矩作用于物体，物体什么时刻
6、就有角加速度。转动定律相当重要，其在转动中的地位就相当于平动中的牛顿第二定律。,把刚体看作质元 的集合，对 用牛顿第二定律的切向式与法向式。 设一刚体绕定轴转动，某质元受内力和外力作用,转动定律可由牛顿第二定律推求： 推导的基本思想：,矢量式： 法向式： 切向式：,对整个刚体：,以 遍乘切向式：,刚体所受的合外力矩 :,（内力不改变动量）,定义：,转动定律,说明：（1）M, J, 均对同一轴而言，且具有瞬时性； （2）改变刚体转动状态的是力矩； （3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。,-转动惯量,牛顿第二定律与转动定律的对应关系,物理量：质点 m 刚体 J,M,规 律：质点 牛顿第二定律 刚体
7、转动定律,不一定,例：问：M大，是否 大？, 式中各量是对于同一轴而言，且与M的符号（转向） 相同。 该定律不但对固定轴（转轴）成立，对质心轴也成立。 该定律是力矩的瞬时作用规律。,不一定,大，是否M大？,对转动定律 M = J 应注意：,（M大， 大， 的变化大。 可为0）,（ 大，并不代表它的变化大，有可能它的M=0，匀角速转动。）,对分离的质点组：,对质量连续分布的刚体对转轴的转动惯量：,2、转动惯量的物理意义：J是描述刚体转动惯性大小的量度。(对比平动m是物体平动惯性大小的量度）,三、转动惯量,1、转动惯量的定义： 对质点：J = m r 2 其中 r 为到转轴的距离。,与刚体的总质量
8、有关 与质量的分布有关 与转轴的位置有关,4、转动惯量J的计算方法：（可将质量元变为线元、面元、体元积分求得）,3、J与下列因素有关：,例1、有一均匀细杆，杆长为 l ，质量为m，c为杆的中点。设转轴oo通过c点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转动惯量Jc=？,解：取x轴方向如图，杆的线密度为 = m /l ，取小质元 d m = d x，则,若将转轴移到A点，求 JA=？ 仍有小质元dm= dx，（ =m/l）,平行轴定理：刚体对某轴的转动惯量J，等于刚体对通过质心的平行轴的转动惯量 Jc ，加上刚体质量 m 乘以两平行轴之间的距离d的平方。即：,可见转轴不同，转动惯量是不同的。 那么将转轴从C点
9、平行移到A点转动惯量改变了多少？,移项得： JA= JC + m d 2 转动惯量的平行轴定理,解：取OX轴如图所示，则棍上任一段元dx的质量， 至转轴的距离:,X,例2、质量为m、长度为L的均质细直棍，对通过其中心O且与棍斜交成角的轴的转动惯量。,过棒一端 O、仍与棍斜交成角 的轴的转动惯量J。,转动惯量：,讨论： 当 时， 即为棍对于过它的中心且与棍垂直的转轴的转动惯量。,为棍对过棍一端、且与棍 垂直的轴的转动惯量。,由平行轴定理：,例3、求质量为m，半径为R的细圆环对过环心垂直于环面的转轴的转动惯量。,解：圆环的线密度为: =m /2 R 环上取小质元: d m= dl = R d 则
10、:,例4、求质量为m，半径为R的薄圆盘对过圆心垂直于盘面的转轴的转动惯量。,解：圆盘的面密度为: =m/R2 取一半径为 r，宽为dr 的圆环为质元: dm = 2r dr,即圆盘对其中心轴的转动惯量为 J =mR2/2 。所以定滑轮绕中心轴的转动惯量为J =mR2/2 ，滑轮绕其过边缘一点的平行轴的转动惯量为 J = mR2/2 + mR2 。（平行轴定理） 转动惯量的计算只是对规则物体而言，对不规则的物体的转动惯量只能用实验的方法得出。,例5、如图所示，求大圆盘的实心部分对O轴（垂直于盘面）的转动惯量。 （已知 R = 2 r ，大盘质量为M，小盘质量为m）,解：由于转动惯量有可加性，所以
11、先分别求出大盘和小盘对O轴的转动惯量，再把小盘的除去即得大盘实心部分对O轴的转动惯量。,大盘对O轴的转动惯量：J1 = M R 2 /2 小盘对O轴的转动惯量：J2 = m r 2/2 + m r 2 = 3m r 2/2 所以实心部分对O轴的转动惯量为：,0,R,r,M,m,例6、一质量为M、半径为R的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不计质量），另一端挂有一质量为m 的物体而下垂。求物体m由静止下落h高度时的速度和此时轮的角速度。,解：对象：M刚体 m 质点,受力分析：如图所示,依牛顿第二定律与转动定律列方程,对物体有： mg - T = m a,对滑轮
12、有： TR = J = M R2 /2,角量和线量的关系： a = R ,运动学关系： v2 = v02 + 2ah = 2ah,解方程得：,在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使物体以v0的速度匀速上升，撤去力矩后，问过多少时间后滑轮开始反向运动？ 解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力和前面完全一样 。因此对物体应用牛顿第二定律和对滑轮应用转动定律的形式完全一样。,对物体有： mg - T = m a,对滑轮有： TR = J = M R2 /2,角量和线量的关系： a = R ,运动学关系： v = v0 + at = 0,由第1、2、3个方程可解得： 由第4个方程可解得：,看书123页例题
13、5 - 4（讲解）,右图中，滑轮两边张力不相同 ，两物体的加速度相同。（绳不可伸长）,解：（1）选细杆、刚体为研究对象,受力与受力矩分析如图,由转动定律有方程：,（2）由于力矩M= mg（L/2）cos 属变力矩，故由 求角速度 时用积分法。,得,例7、质量m、长为L 的均质细杆，可绕过固定端O的水平轴转动，将杆从水平位置由静止释放，如图。试求：转到任一角 时，杆的角加速度 等于多少？此时的角速度 等于多少？, 当 =/2 （杆转到竖直位置）时，,讨论： 越小， 值越小； 越大， 值越大。,所以刚体的转动动能,一、转动动能 刚体转动时，各质点都绕定轴作圆运动，都具有动能。刚体的转动动能就等于刚
14、体中所有质点的动能之和。 质点的动能为: 则刚体总动能为:,与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同。 Ek=mr22=ML2T-2,5-3 转动动能、力矩的功,刚体转过d角，合外力F作的元功为 ：,当刚体在F力作用下，从1转到2时所作的功为：,二、力矩的功:,-刚体绕定轴转动的动能定理,转动动能定理：合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动 动能的增量。,使用中应注意： Ek转 是相对量； 转动动能定理的表达式为标量式。 应用该定理时只需分析始态与末态。,凡是涉及杆的转动问题，要应用转动动能定理 下面用转动动能定理求解例6,解：对象：杆,由转动动能定理有：,可见：求解杆的角速度时，用转动动能定
15、理比用转动定律 简单。求角加速度又是用转动定律为简单。,机械能守恒定律 只有保守力作功时，机械能守恒，即,用机械能守恒定律求解例6中的,解：在杆转动的过程中，由于只有重力作功，故机械能守 恒。取杆的水平位置为势能零点，有,一、质点的角动量（动量矩）和角动量守恒定律,1.质点的角动量：,方向：从 至 的右旋前进方向（右手螺旋法则）。,当质点绕O点作圆运动时,则有: L = P r = m v r,5-4 角动量定理 角动量守恒定律,2.质点角动量原理：,-角动量对时间的变化率,力矩:,质点所受冲量矩 = 质点角动量的增量,当质点所受合外力矩 M=0 时，质点角动量守恒 L = 恒量,质点所受冲量矩:,3.质点角动量守恒定律:,例1、一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿过中心的线拉住 。开始时绳半径为r1 ，小球速率为 v1 ；后来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ，小球速率变为 v2 ，求v2 =？,解：受力分析如图所示。Mg = N T为小球圆运动的向心力，合外力= T ，但过转轴而无力矩。合外力矩为0，小球角动量守恒 。 有： L = mvr = 恒量 即 m v1 r1 =m v2 r2,角动量守恒,二、绕定轴转动的刚体的角动量和角动量守恒定律,刚体对定轴转动的角动量等于刚体中所有质点对转轴的角动量之和：,z,0,dmi,ri,1.刚体对定点的角
