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1、二次函数的图像与性质要点一、二次函数与之间的相互关系1.顶点式化成一般式将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式2.一般式化成顶点式 对照，可知， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是要点诠释：求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用例1求抛物线的对称轴和顶点坐标【答案与解析】解法1（配方法）： 顶点坐标为，对称轴为直线解法2（公式法）： ， ， 顶点坐标为，对称轴为直线解法3（代入法）： ， 将代入解析式中得， 顶点坐标为，对称轴为直线【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法
2、将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用举一反三：【变式】把一般式化为顶点式（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.要点二、二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C
3、关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来要点诠释：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数的图象与性质1.二次函数图象与性质函数二次函数（a、b、c为常数，a0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在
4、对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bab0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac0与x轴有两个交点b2-4ac0与x轴没有交点要点四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当
5、时，例2求二次函数的最小值.【答案与解析】解法1(配方法)： ， 当x-3时， 解法2(公式法)： ，b3， 当时， 解法3(判别式法)： ， x是实数， 62-4(1-2y)0， y-4 y有最小值-4，此时，即x-3【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择举一反三：【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化当L是多少时，矩形场地的面积S最大？一、选择题1. 将二次函数化为的形式，结果为（ ）A B C D 2已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（ ）A B C D3若二次函数配方后为，
6、则b、k的值分别为（ ） A0，5 B0，1 C-4，5 D-4，14抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b、c的值为（ ）A.b=2，c=2 B. b=2，c=0 C. b= -2，c= -1 D. b= -3，c=25已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值( ) A. 等于0 B.等于1 C. 等于-1 D. 不能确定6二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( ) 二、填空题7二次函数的最小值是_8已知二次函数，当x-1时，函数y的值为4，那么当x3时，
7、函数y的值为_9二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是_ 10二次函数的图象与x轴的交点如图所示根据图中信息可得到m的值是_ 第10题 第11题11如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴 第问：给出四个结论：a0；b0；c0；a+b+c=0其中正确的结论的序号是_ ； 第问：给出四个结论：abc0；a+c=1；a1，其中正确的结论的序号是_ _.12已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且ABC的面积等于10，则C点的坐标为_ _.三、解答题13（1）用配方法把二次函数变成的形式； （2）若，是函数图象上的两点，且，比较、的大小14.已知抛物线： (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？
