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1、7A版优质实用文档20GG年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1) 设函数fx=0x2ln(2+t)dt,则f(x)的零点个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B。【解析】fx=2xln(2+x2)且ln(2+x2)0，则x=0是f(x)唯一的零点综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一元函数积分学积分上限的函数及其导数(2) 函数fx,y=arctanxy在点(0,1)处的梯度等于(A)i(B)-i(C)j(D)-j【答案】A。【解析】gradfx,y=f(x,y)xi+f(x,y)yjf(x,
2、y)x=1y1+(xy)2=yx2+y2,f(x,y)y=-xy21+(xy)2=-xx2+y2所以gradfx,y(0,1)=fx0,1i+fy0,1j=1i+0j=i综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学多元函数微分学方向导数和梯度(3) 在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是(A)y+y-4y-4y=0(B)y+y+4y+4y=0(C)y-y-4y+4y=0(D)y-y+4y-4y=0【答案】D。【解析】由通解表达式y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x可知其特征根为1=1,2,3=2i可见其对应特征方程为-1
3、2+4=3-2+4-4=0故对应微分方程为y-y+4y-4y=0综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学常微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(4) 设函数f(x)在(-,+)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是(A) 若xn收敛，则f(xn)收敛(B) 若xn单调，则f(xn)收敛(C) 若f(xn)收敛，则xn收敛(D) 若f(xn)单调，则xn收敛【答案】B。【解析】【方法一】由于xn单调，f(x)单调有界，则数列f(xn)单调有界，根据单调有界准则知数列f(xn)收敛。【方法二】排除法：若取fx=1,x0-1,x0,xn=(-1)nn,则显然f(x)单调，xn收敛，但f
4、xn=1，n为偶数-1,n为奇数，显然f(xn)不收敛，排除A。若取fx=arctanx,xn=n,显然f(xn)收敛且单调，但xn不收敛，排除C和D。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学函数、极限、连续函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则(5) 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0,则(A) E-A不可逆，E+A不可逆(B) E-A不可逆，E+A可逆(C) E-A可逆，E+A可逆(D) E-A可逆，E+A不可逆【答案】C。【解析】因为E-AE+A+A2=E-A3=EE+AE-A+A2=E+A3=E所以可知E-A可逆，E+A可逆综
5、上所述，本题正确答案是C。【考点】线性代数矩阵矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件(6) 设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程x,y,zAxyz=1在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则A的正特征值的个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B。【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为x2a2-y2b2-z2c2=1二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是A的特征值，可知A的正特征值的个数为1综上所述，本题正确答案是B。【考点】线性代数二次型次型的标准形和规范形(7) 设随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F(x),则Z=minX,Y的分布函数为(A)F2(x)(B)
6、F(x)F(y)(C)1-1-F(x)2(D)1-F(x)1-F(y)【答案】A。【解析】FZx=PZx=PmaGX,Yx=PXx,Yx=PXxPYx=FxFx=F2(x)综上所述，本题正确答案是A。【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布随机变量的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布(8) 设随机变量XN0,1,YN(1,4),且相关系数XY=1,则(A)PY=-2X-1=1(B)PY=2X-1=1(C)PY=-2X+1=1(D)PY=2X+1=1【答案】D。【解析】由相关系数的性质可知：如果|XY|=1,则必有PY=aX+b=1可得EY=aEX+b已知XN0,1,YN
7、(1,4),所以1=0+b,得b=1又1=XY=Cov(X,Y)DXDY而CovX,Y=CovX,aX+b=aCovX,X=a所以1=a14,a=2即PY=2X+1=1综上所述，本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）(9) 微分方程xy+y=0满足条件y1=1的解是y=。【答案】1x。【解析】分离变量得dyy=-1xdx,l两边积分有lny=-lnx+Clnxy=Cxy=eC=C1利用条件，y1=1，解得y=1x综上所述，本题正确答案是1x。【考点】高等数学常微分方程变量可分
8、离的微分方程(10) 曲线sinxy+lny-x=x在点0,1处的切线方程是。【答案】y=x+1【解析】先求曲线在点0,1处的斜率等式sinxy=lny-x=x两端对x求导得cosxy(y+xy)+y-1y-x=1在上式中，将x=0,y=1,代入可得y0=1所以曲线在该点处的切线方程为y-1=x,即y=x+1综上所述，本题正确答案是y=x+1。【考点】高等数学一元函数微分学导数的几何意义和物理意义(11) 已知幂级数n=0an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数n=0an(x-3)n的收敛域为。【答案】(1,5。【解析】由题设可知，幂级数n=0an(x+2)n在x=0处收敛，
9、在x=-4处发散,即-4x0,x+22时，幂级数收敛。对于幂级数n=0an(x-3)n，则收敛区间为x-321x5又幂级数n=0an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，所以对于幂级数n=0an(x-3)n收敛域为(1,5。综上所述，本题正确答案是(1,5。【考点】高等数学无穷级数幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域(12) 设曲面是z=4-x2-y2的上侧，则xydydz+xdzdx+x2dxdy=。【答案】4。【解析】补曲面1:x2+y24z=0,取下侧，记D=(x,y)|x2+y24则xydydz+xdzdx+x2dxdy=+1xydydz+xdzdx+x2dxdy-
10、1xydydz+xdzdx+x2dxdy=Px+Qy+Rzdxdydz+Dx2dxdy=ydxdydz+02d02r2cos2rdr=0+02cos2d02r3dr=4综上所述，本题正确答案是4。【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲面积分的概念、性质及计算(13) 设A为2阶矩阵，1,2为线性无关的2维列向量，A1=0，A2=21+2，则A的非零特征值为。【答案】1。【解析】【方法一】定义法：由A1=0=01，A21+2=2A1+A2=A2=21+2可得矩阵A的特征值为1,0，因此A的非零特征值为1。【方法二】矩阵相似：A1,2=0,21+2=1,2
11、0201可知A0201，0201的特征值易得为1,0，所以可得矩阵A的特征值为1,0，因此A的非零特征值为1。综上所述，本题正确答案是1。【考点】线性代数矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质(14) 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX=E(X2)=。【答案】12e【解析】由已知，有EX=DX=1,所以EX2=DX+(EX)2=2所以PX=EX2=PX=2=12e综上所述，本题正确答案是12e。【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征一维随机变量及函数的数字特征三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
12、。(15) （本题满分9分）求极限limx0sinx-sin(sinx)sinxx4【解析】【方法一】limx0sinx-sin(sinx)sinxx4=limx0sinx-sin(sinx)xx4（等价无穷小代换）=limx0cosx-cos(sinx)cosx3x2（洛必达法则）=13limx01-cos(sinx)x2（limx0cosx=1）=13limx012sin2xx2(等价无穷小代换)=16【方法二】limx0sinx-sin(sinx)sinxx4=limx0sinx-sin(sinx)sinxsin4x（等价无穷小代换）=limt0t-sintt3（变量代换sinx=t）=
13、limt01-cost3t2（洛必达法则）=limt012t23t2=16（等价无穷小代换）【方法三】limx0sinx-sin(sinx)sinxx4=limx0sinx-sin(sinx)xx4=limx0sinx-sin(sinx)x3由泰勒公式sinx=x-x33!+o(x3),可得sinsinx=sinx-sin3x3!+o(sin3x)则，上式=limx0sinx-sin(sinx)x3=limx0sinx-sinx-sin3x3!+o(sin3x)x3=limx0sin3x3!+o(x3)x3=16【方法四】limx0sinx-sin(sinx)sinxx4=limx0sinx-
14、sin(sinx)xx4=limx0sinx-sin(sinx)x3=limx0cos(x-sinx)x3（拉格朗日中值定理）=limx0x-sinxx3=limx01-cosx3x2=16【方法五】由于当x0时,x-sinx16x3,则sinx-sinsinx16sin3x所以limx0sinx-sin(sinx)sinxx4=limx016sin3xsinxx4=16【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学一元函数微分学微分中值定理，洛必达(LHospital)法则(16) （本题满分9分）计算曲线积分Lsin2xdx+2(x2-1)ydy,其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点(,0)的一段。【解析】【方法一】Lsin2xdx+2(x2-1)ydy=0sin2x+2(x2-1)sinxcosxdx=0x2sin2xdx=-x22cos2x0+0xcos
