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1、【MeiWei81-优质实用版文档】大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一.数列函数:1.类型:(1)数列:G;G(2)初等函数:(3)分段函数:G;G;G(4)复合(含)函数:(5)隐式(方程):(6)参式(数一,二):(7)变限积分函数:(8)级数和函数(数一,三):2.特征(几何):(1)单调性与有界性(判别);(单调定号)(2)奇偶性与周期性(应用).3.反函数与直接函数:二.极限性质:1.类型:G;G(含);G(含)2.无穷小与无穷大(注:无穷量):3.未定型:4.性质:G有界性,G保号性,G归并性三.常用结论:,四.必备公式:1.等价无穷小:当时,;2.泰勒公式:(1);
2、(2);(3);(4);(5).五.常规方法:前提:(1)准确判断(其它如:);(2)变量代换(如:)1.抓大弃小,2.无穷小与有界量乘积()(注:)3.处理(其它如:)4.左右极限(包括):(1);(2);(3)分段函数:,5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)6.洛必达法则(1)先”处理”,后法则(最后方法);(注意对比:与)(2)幂指型处理:(如:)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7.泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小8.极限函数:(分段函数)六.非常手段1.收敛准则:(1)(2)双边夹:G,G(3)单边挤:GGG2.导数定义(洛必达?):3.积分和:,4.中
3、值定理:5.级数和(数一三):(1)收敛,(如)(2),(3)与同敛散七.常见应用:1.无穷小比较(等价,阶):G(1)(2)2.渐近线(含斜):(1)(2),()3.连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,连续性)八.上连续函数性质1.连通性:(注:,“平均”值:)2.介值定理:(附:达布定理)(1)零点存在定理:(根的个数);(2).第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一.基本概念:1.差商与导数:;(1)(注:连续)(2)左右导:;(3)可导与连续;(在处,连续不可导;可导)2.微分与导数:(1)可微可导;(2)比较与的大小比较(图示);二.求导准备:1
4、.基本初等函数求导公式;(注:)2.法则:(1)四则运算;(2)复合法则;(3)反函数三.各类求导(方法步骤):1.定义导:(1)与;(2)分段函数左右导;(3)(注:,求:及的连续性)2.初等导(公式加法则):(1),求:(图形题);(2),求:(注:)(3),求及(待定系数)3.隐式()导:(1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3)对数求导法.4.参式导(数一,二):,求:5.高阶导公式:;注:与泰勒展式:四.各类应用:1.斜率与切线(法线);(区别:上点和过点的切线)2.物理:(相对)变化率速度;3.曲率(数一二):(曲率半径,曲率中心,曲率圆)4.边际与弹性(数三):
5、(附:需求,收益,成本,利润)五.单调性与极值(必求导)1.判别(驻点):(1);(2)分段函数的单调性(3)零点唯一;驻点唯一(必为极值,最值).2.极值点:(1)表格(变号);(由的特点)(2)二阶导()注(1)与的匹配(图形中包含的信息);(2)实例:由确定点“”的特点.(3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优)3.不等式证明()(1)区别:G单变量与双变量?G与?(2)类型:G;GG;G(3)注意:单调性端点值极值凹凸性.(如:)4.函数的零点个数:单调介值六.凹凸与拐点(必求导!):1.表格;()2.应用:(1)泰勒估计;(2)单调;(3)凹凸.七.罗尔定理与辅助函数
6、:(注:最值点必为驻点)1.结论:2.辅助函数构造实例:(1)(2)(3)(4);3.有个零点有个零点4.特例:证明的常规方法:令有个零点(待定)5.注:含时,分家!(柯西定理)6.附(达布定理):在可导,使:八.拉格朗日中值定理1.结论:;()2.估计:九.泰勒公式(连接之间的桥梁)1.结论:;2.应用:在已知或值时进行积分估计十.积分中值定理(附:广义):注:有定积分(不含变限)条件时使用第三讲:一元积分学一.基本概念:1.原函数:(1);(2);(3)注(1)(连续不一定可导);(2)(连续)2.不定积分性质:(1);(2);二.不定积分常规方法1.熟悉基本积分公式2.基本方法:拆(线性
7、性)3.凑微法(基础):要求巧,简,活()如:4.变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):(2)作用与引伸(化简):5.分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如);(2)“反对幂三指”:(3)特别:(G已知的原函数为;G已知)6.特例:(1);(2)快速法;(3)三.定积分:1.概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件:连续)(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)G;G(3)附:,)(4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重2:变限积分的处理(重点)(1)可积连续,连续可导(2);(3)由函数参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题3.公式:(
8、在上必须连续!)注:(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性(2)有理式,三角式,根式(3)含的方程.4.变量代换:(1),(2)(如:)(3),(4);,(5),5.分部积分(1)准备时“凑常数”(2)已知或时,求6.附:三角函数系的正交性:四.反常积分:1.类型:(1)(连续)(2):(在处为无穷间断)2.敛散;3.计算:积分法公式极限(可换元与分部)4.特例:(1);(2)五.应用:(柱体侧面积除外)1.面积,(1)(2);(3);(4)侧面积:2.体积:(1);(2)(3)与3.弧长:(1)(2)(3):4.物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5.平均值(中值定理):(1);(2),
9、(以为周期:)第四讲:微分方程一.基本概念1.常识:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件)2.变换方程:(1)令(如欧拉方程)(2)令(如伯努利方程)3.建立方程(应用题)的能力二.一阶方程:1.形式:(1);(2);(3)2.变量分离型:(1)解法:(2)“偏”微分方程:;3.一阶线性(重点):(1)解法(积分因子法):(2)变化:;(3)推广:伯努利(数一)4.齐次方程:(1)解法:(2)特例:5.全微分方程(数一):且6.一阶差分方程(数三):三.二阶降阶方程1.:2.:令3.:令四.高阶线性方程:1.通解结构:(1)齐次解:(2)非齐次特解:2.常系数方程:(1)特征方程与特征
10、根:(2)非齐次特解形式确定:待定系数;(附:的算子法)(3)由已知解反求方程.3.欧拉方程(数一):,令五.应用(注意初始条件):1.几何应用(斜率,弧长,曲率,面积,体积);注:切线和法线的截距2.积分等式变方程(含变限积分);可设3.导数定义立方程:含双变量条件的方程4.变化率(速度)5.6.路径无关得方程(数一):7.级数与方程:(1)幂级数求和;(2)方程的幂级数解法:8.弹性问题(数三)第五讲:多元微分与二重积分一.二元微分学概念1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件),(1)(2)(3)(判别可微性)注:点处的偏导数与全微分的极限定义:2.特例:(
11、1):点处可导不连续;(2):点处连续可导不可微;二.偏导数与全微分的计算:1.显函数一,二阶偏导:注:(1)型;(2);(3)含变限积分2.复合函数的一,二阶偏导(重点):熟练掌握记号的准确使用3.隐函数(由方程或方程组确定):(1)形式:G;G(存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):(要求:二阶导)(3)注:与的及时代入(4)会变换方程.三.二元极值(定义?);1.二元极值(显式或隐式):(1)必要条件(驻点);(2)充分条件(判别)2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:应用)(1)目标函数与约束条件:,(或:多条件)(2)求解步骤:,求驻点即可.3.有界闭域上最值(重点)
12、.(1)(2)实例:距离问题四.二重积分计算:1.概念与性质(“积”前工作):(1),(2)对称性(熟练掌握):G域轴对称;G奇偶对称;G字母轮换对称;G重心坐标;(3)“分块”积分:G;G分片定义;G奇偶2.计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换):以“”为主;(2)交换积分次序(熟练掌握).3.极坐标使用(转换):附:;双纽线4.特例:(1)单变量:或(2)利用重心求积分:要求:题型,且已知的面积与重心5.无界域上的反常二重积分(数三)五:一类积分的应用():1.“尺寸”:(1);(2)曲面面积(除柱体侧面);2.质量,重心(形心),转动惯量;3.为三重积分,格林公式,曲面投
13、影作准备.第六讲:无穷级数(数一,三)一.级数概念1.定义:(1),(2);(3)(如)注:(1);(2)(或);(3)“伸缩”级数:收敛收敛.2.性质:(1)收敛的必要条件:;(2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论);(3);二.正项级数1.正项级数:(1)定义:;(2)特征:;(3)收敛(有界)2.标准级数:(1),(2),(3)3.审敛方法:(注:,)(1)比较法(原理):(估计),如;(2)比值与根值:GG(应用:幂级数收敛半径计算)三.交错级数(含一般项):()1.“审”前考察:(1)(2);(3)绝对(条件)收敛?注:若,则发散2.标准级数:(1);(2);(3)3.莱
14、布尼兹审敛法(收敛?)(1)前提:发散;(2)条件:;(3)结论:条件收敛.4.补充方法:(1)加括号后发散,则原级数必发散;(2).5.注意事项:对比;之间的敛散关系四.幂级数:1.常见形式:(1),(2),(3)2.阿贝尔定理:(1)结论:敛;散(2)注:当条件收敛时3.收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)注(1)与同收敛半径(2)与之间的转换4.幂级数展开法:(1)前提:熟记公式(双向,标明敛域);(2)分解:(注:中心移动)(特别:)(3)考察导函数:(4)考察原函数:5.幂级数求和法(注:G先求收敛域,G变量替换):(1)(2),(注意首项变化)(3),(4)的微分方程(5)应用:.6.方程的幂级数解法7.经济应用(数三):(1)复利:;(
