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1、【包哥数学】抽象函数专题抽象函数简介抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。抽象函数一些模型根据抽象函数的一些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化，有助于分析问题。抽象函数f(x)具有的性质联想到的函数模型f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)正比例函数模型：f(x)=kx (k0)f(x1+x2)=f(x1)f(x2);f(x1-x2)=f(x1)f(x2)指数函数模型：f(x)=ax (a0且a1)f(x
2、1x2)=f(x1)+f(x2);f(x1x2)=f(x1)-f(x2);(x1,x2R+)对数函数模型：f(x)=logax (a0且a1)例题：例1：f (x)在R+上是增函数，且f (x)=f ()+f (y),若f (3)=1,f (x)f ( )2，求x的范围 。 例2：设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f(m+n)=f(m)f(n)，且x0时，0f(x)1.（1）证明：f(0)=1；且x1;（2）证明：f(x)在R上单调递减；（3）设A=(x,y)f (x2)f(y2)f(1),B=(x,y)f (ax-y+2)=1,aR，若AB=，确定a的范围。抽象函数的对称性
3、（中心对称、轴对称）和周期性先深刻理解奇函数，偶函数概念方法：用哪个数代替x一、 抽象函数的对称性定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (bx)，则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 对称。推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (ax) （或f (2ax)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a对称。推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (ax)， 又若方程f (x)=0有n个根，则此n个根的和为na 。定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足
4、条件：f (a+x)+f (bx)=c，（a,b,c为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点 对称。推论1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)+f (ax)=0，（a为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。了解定理3.若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=f (bx)两函数的图象关于直线x=对称。对任意x0,令a+x0=b-x1,则x0+x1=b-a此时令y=f(a+x0)=f(b-x1),则(x0,y)在第一个函数图像上,(x1,y)在第二个函数图像上因为x0+x1=b-a,所以有x0-(b-a)/2=(b-a)
5、/2-x1,(x0,y)和(x1,y)关于直线x=(b-a)/2对称所以这两个函数的图像关于直线x=(b-a)/2是对称的定理4.若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=cf (bx)两函数的图象关于点对称。二、抽象函数的周期性命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.函数y=f(x)满足f(x+a)=，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，
6、且2a是它的一个周期.命题2：若a、b()是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数
7、，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论:
8、 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: 已知A、B C （2001年全国高考第22题第二问） f(x)是R上的偶函数f(-x)=f(x) 又f(x)关于x=a对称f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a)f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期 已知A、CB 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数f(-x)=f(x) 又2a是f(x)一个周期f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x+2a) f(x)关于x=a对称 已知C、BA f(x)关于x=a对称f(-x)=f(x+2a) 又2a是f(x)一个周期f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x) f(x)是R上的偶函数 由
9、命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f()=0【f(x+T)=f(x)，令x=-T/2，f(T/2)=f(-T/2)，f(x)为奇函数,所以f(T/2)=f(-T/2)=-f(T/2)则2f(T/2)=0,f(T/2)=0】基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系。根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题。 习题：1.若函数f（x）=x2+bx+c对于任意实数t均有f（3+t）= f（1t），那么（ ）A. f（2） f（1） f（4）B. f（1） f（2） f（4）C.f（2） f（4） f（1）D. f（4） f（2） f（1）解析：在f（3+t）
10、= f（1t）中（3+t）+（1t）=4所以抛物线f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=2作示意图如图1，可见，应选A。2.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x2）= f（x），给出下列四个结论：f（2）=0；f（x）是以4为周期的函数；f（x）的图像关于直线x=2对称；f（x+2）=f（ x）其中所有正确命题的序号是_。解析：（1）因为y= f（x）（xR）是奇函数，所以f（x）= f（x）令x=0，得f（0）=f（0）所以f（0）=0又已知f（x2）= f（x）令x=2，得f（0）= f（2）所以f（2）= f（0）=0故成立。（2）因为f（x2）= f（x），所以由x（x4）=4（两
11、自变量相减得常数）所以f（x）是以4为周期的周期函数。故成立。（3）由f（x+2）= f（x）得：（x+2）+（x）=2（两自变量相加得常数）所以f（x）的图像关于直线x=1对称。而不是关于直线x=2对称。故是错误的。（4）由（2）知，f（x）应满足f（x+2）= f（x2）而f（x2）=f（x）所以f（x+2）= f（x）= f（x）故成立。综上所述，应填。3. 函数的图像关于直线x=2对称，则a=_。解析：因为函数的图像关于直线x=2对称所以有（与题设矛盾，舍去）或所以。4.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A.f(1)f()f
12、() B. f()f(1) f() C. f()f()f(1) D.f()f(1) f().解析：函数y=f(x+2)是偶函数，f(x+2)=f(-x+2)x=2为y=f(x)图像的对称轴=【也可根据y=f(x+2)y=f(x)向右平移两个单位知x=2为y=f(x)图像的对称轴】函数y=f(x)在(2,4)上是减函数，且f(1)=f(3)523f3f(72),选B5.f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调.求a的值. 包哥解析：由f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)得f(2-x)= -f
13、(6-x)用x代替-x, f(2+x)= -f(6+x)；用x+2代替x，f(x)= -f(x+4)；用x+4代替x, f(x+4)= -f(x+8)=-f(x),即f(x)=f(x+8),T=8f(2000)=f(0+8*250)=f(0)又f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6)a5，9且f(x)在5，9上单调a =6确定方程根的个数6.已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间1000，1000上f(x)=0至少有几个根？解：由f(7+x)=
14、f(7x)，用x-7代替x，f(x)=f(14-x)f(4x)= f(14x)，用x代替4-x故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间1000，1000上至少有1+2=401个根.12.（仙游一中高一数学期末）在实数集上定义一种新运算“”，对于任意给定的，为唯一确定的实数，且具有下面三个性质： 关于函数的性质，有以下说法：在区间上函数的最小值为； 函数为奇函数；函数的单调递增区间为.其中所有正确说法的个数为（ ） A B C D解析：B由新运算“”的定义（3）令c=0，则ab=ab+a+b=x+1x+1（对勾函数）f（x）=1-1x2，令f（x）=0，则x=1，当x（-，-1）或（1，+）时，f（x）0函数f（x）的单调递增区间为（-，-1）、（1，+）故正确；正确，错误，f(-x)-f(x)12.（2018厦门市高中毕业班模拟试题）已知函数fx
