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1、1,第3章 动量与角动量,主要内容,冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理 质心参考系中的角动量,2,3.1 冲量与动量定理,1.力的冲量,无穷小时间间隔内的冲量,冲量是反映力对时间的累积效应。,作用力与作用时间的乘积。,恒力的冲量：,变力的冲量：,单位：Ns,3,2.质点的动量定理,车辆超载容易引发交通事故,车辆超速容易引发交通事故,4,结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物体的质量有关。,动量：运动质点的质量与速度的乘积。,单位：kgms-1,由n个质点所构成的质点系的动量：,5,牛顿运动定律：,
2、动量定理的微分式：,如果力的作用时间从 ，质点动量从,6,质点动量定理：,质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。,说明：,（1） 冲量的方向 与动量增量 的方向一致。,7,平均冲力：,8,结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体受到的平均冲力越小；反之则越大。,9,逆风行舟,10,河流拐弯处的堤坝,河流拐弯处外侧的堤坝要比内侧堤坝更加坚固,这是由于内侧堤坝仅需要承受流水的静压强.而外侧堤坝,除了需要承受水的静压强外,由于河流弯曲,外侧堤坝不仅受到水流的冲击,还要承受附加的动压强. 物理学原理在工程技术中的应用P27 补充！,11,补充: 质点系的动量定理,设 有n个质
3、点构成一个系统,第i个质点：,外力,内力,初速度,末速度,质量,由质点动量定理：,12,其中：,系统总末动量：,系统总初动量：,合外力的冲量：,13,质点系的动量定理：,微分式：,质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。,注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。,14,例1、质量m = 1kg的质点从o点开始沿半径R = 2m的圆周运动。以o点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为 m。试求从 s到 s这段时间内质点所受合外力的冲量。,解：,15,16,例2. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F = 400-4105 t/3，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。设子弹离开枪口处
4、合力刚好为零。求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t。（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I。（3）子弹的质量。,解：,（1）,（2）,（3）,17,例3.一根柔软链条长l,单位长度质量为.链条放在桌上,桌上有一小孔,链条的一端由小孔垂下,其余部份堆在桌面上小孔周围.由于某种拢动,链条因自身重量开始下落.求链条下落速度与落下距离之间的关系.,解：,如图在竖直向上方向建坐标,系统沿y方向受到合外力的冲量为Fdt,由动量定理可得:,18,19,例4.一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过,每秒钟落入车厢的煤为m=500kg.如果使车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力拉车厢?,解：,以m表示时刻t煤
5、车和已落进煤车的煤的总质量.,t+dt时刻水平总动量为:,此后dt时间内又有质量为 dm的煤落入车厢.,取m与dm为研究的质点系 ,则在t时刻水平总动量为:,20,dt时间内水平总动量的增量为:,由此可得:,不能单纯从数学上来理解导数的形式,而是要加入物理思想! “单位时间质量变化”,21,1.质点系的动量定理：,3.2动量守恒定律,有,系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。,条件：,动量守恒定律：,22,说明：,（2）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。,（4）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。如：碰撞，打击,爆炸等,（5）
6、系统内所有质点的动量都必须对同一个惯性参考系而言。,（3）系统所受合外力不为零，但在某一方向上的分量为零，则在该方向上动量守恒。,（6）动量守恒在微观领域仍然适用,比牛顿定律意义更为深远。,（1）有 内力的作用不改变系统的总动量,23,动量守恒的分量式：,动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。,24,例5. 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为。如果质量为mo的飞船以初速vo穿过尘埃，由于尘埃粘在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积为S的圆柱体）,解：,某时刻飞船速度：v，质量：m,动量守
7、恒：,质量增量：,25,26,例6. 在水平面上有一静止的车,车长为l,质量为m0,车上有一质量为m的人站在车后端A,如图所示,设人从车的后端A跑到车的前端B,求此时车相对地面移动的距离.,解：,27,28,例7. 如图,一个1/4圆弧滑槽的大物体的质量为M,停在光滑的水平面上,另一质量为m的小物体自圆弧顶点由静止下滑.求当小物体m滑到底时,大物体M在水平面上移动的距离?,解：,系统在m下滑过程中,水平方向 受合外力为零,水平方向动量守 恒!,29,由绝对位移,相对位移,牵连位移之间关系可得:,思考：木块离开滑槽瞬间对它的作用力?,30,例8. 如质量均为m的两质点A,B.由长为L的不可伸长轻
8、绳连接,B点限制在光滑轨道内,可自由滑动,开始A静止于桌面,B静止在轨道内,AB垂直于轨道距0.5L,如A以速度v在桌面上平行于轨道方向运动,求证:当B运动时速度大小为0.43v,并求出绳受到的冲量和轨道的反作用冲量.,解：,A,B小球在水平方向受 外为零,故动量守恒:,31,对于B,绳不可伸长,故有:,对于A,仅受于绳的拉力,故与绳正交方向动量守恒!,32,3.3火箭飞行原理,：dm相对火箭体喷射速度,33,质点系选：(M+dM , dm),设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：,34,火箭体对喷射的气体的推力：,即喷射的气体对火箭体的推力：,35,3.4质心,质心：,质点系中一个特殊的点，位
9、矢为,36,质心位置的分量式：,连续体的质心位置：,对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在它的几何中心。,说明：,37,例9. 一段均匀铁丝, 线质量密度为,现将其弯成半圆形,半径为R,求此半圆形铁丝的质心.,解：,38,3.5 质心运动定理,质心位置公式：,结论：,质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度的乘积。,由质点系动量定理的微分式可得：,39,质心运动定理：,作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量与质心加速度的乘积。,质心的两个重要性质：,40,例10. 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，
10、另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。,解：,在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc 。,41,例11. 在水平面上有一静止的车,车长为l,质量为m0,车上有一质量为m的人站在车后端A,如图所示,设人从车的后端A跑到车的前端B,求此时车相对地面移动的距离.,解：,42,43,例12. 水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为 F，求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？,解：,沿拉动纸的方向移动,44,3.6 质点的角动量和角动量定理,1.质点对固定点的角动量,设：t时刻质点的位矢,质点的动量,运动质点相对
11、于参考原点O的角动量定义为：,单位：Kg m2s-1,45,角动量大小：,角动量的方向： 位矢 和动量 的矢积方向成 右手螺旋,如果质点绕参考点O作圆周运动,角动量与所取的惯性系有关； 角动量与参考点O的位置有关。,注意：,46,质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的投影，称为质点对轴线的角动量。,质点系的角动量,设各质点对O点的位矢分别为,动量分别为,47,2.力对固定点的力矩,质点的角动量 随时间的变化率为,式中,48,质点角动量的改变不仅与所受的作用力 有关，而且与参考点O到质点的位矢 有关。,定义：外力 对参考点O的力矩：,力矩的大小：,力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于 和确定
12、的平面。,49,设作用于质点系的作用力分别为：,相对于参考点O的合力矩为：,50,力对轴的矩,力 对轴的力矩：,力 对点的力矩 在过点的任一轴线上的投影。,力 对轴OA的力矩：,51,质点的角动量定理：,质点对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。,角动量定理的积分式：,称为“冲量矩”,3.质点的角动量定理,52,质点系的角动量：,两边对时间求导：,上式中,上式中,为什么?,53,质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。,质点系角动量定理：,质点系对z 轴的角动量定理：,54,质点系角动量定理的积分式：,作用于质点
13、系的冲量矩等于质点系在作用时间内的角动量的增量 。,55,如果,则,质点或质点系的角动量守恒定律：,当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。,3.7/3.8 (质点系)角动量守恒定律,56,质点系对z 轴的角动量守恒定律：,系统所受外力对z轴力矩的代数和等于零，则质点系对该轴的角动量守恒。,角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它有着广泛的应用。,补充:,质点所受外力的作用线始终通过某定点时,该外力称为有心力,有心力对该定点的力矩为零,质点对该定点的角动量守恒。,57,证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相等时间内扫过的椭圆面积相等 。,有心力作用
14、下角动量守恒,证毕,证,58,例14. 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，它离太阳最近的距离为 时， 它距离太阳最远时， ，这时,解：,能用万有引力公式计算吗？为什么?,59,例15. 一轻绳绕过一轻滑轮,两个质量相同的人分别抓住轻绳的两端,设开始时,两人在同一高度上,此时左边的人从静止开始上爬,而右边的人抓住绳不动,问哪个人先到达滑轮?如果两个人质量不相等,情况又如何?,解：,将人与滑轮看成一个系统.以滑轮中心为参考点,系统所受外力矩分别为两人所受重力矩,大小相等,方向相反,故对中心点,系统角动量守恒!,60,故同时到达!,若两人质量相同,则有:,故系统角动量不守恒!,若:,由角动量定理可
15、知:,假设:,所以在任何情况下,体重轻的人先到达滑轮!,方向?,61,例16. 三个物体、，每个质量均为，、靠在一起，放在光滑的水平桌面上，两者间有一段长为0.4m的细绳，原先放松着。的另一侧用一跨过桌边的定滑轮的细绳与相连，滑轮和绳子的质量及轮轴上的摩擦不计，绳子不可伸长，求：开始后运动的速度是多少？（g取10m/s),解：,g,62,B、C之间绳子刚拉紧时，和的速度为1= at = 2 m/s.,B,C,A,M,l,R,r,63,设开始拉紧时，、三者速度大小为，则绳子拉紧过程中，、系统对定滑轮轴的角动量近似守恒（不计的重力的情况下）则：,64,3.9 质心参考系中的角动量,1.相对于定点与相对于质心的角动量的关系,如图，O为惯性系中一定点，C为质心。,由伽利略速度变换可知,65,质点系对定点的角动量为,于是有：,即：质点系对定点的角动量，等于质心对该定点的角动量加上质点系对质心的角动量。,66,2.质心参考系中的角动量定理,前式对时间求导可得,质点系对定点O所受的合外力矩为,67,上式等号左边是质点系中各质点所受外力对质心的力矩的矢量和，用 表示。 于是,由质点系的角动量定理可得,质心系中的角动量定理,
