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1、4-2 简谐运动的合成和分解,4-2-1 简谐运动的合成,1. 两个同方向、同频率的简谐运动的合成,某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：,1,A1、A2、A一起以 转动，保持相对静止。,结论：一个质点参与两个在同一直线上频率相同 的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。,2,的具体象限要根据 确定。,3,合振动的强弱与两分振动相位差的关系,注：常采用矢量合成来处理振动合成的问题。,4,同方向同频率振动合成,5,多个同一直线上、同频率简谐运动的合成多边形法则,特例:,6,例11: 两个同方向的简谐运动曲线(如图所示), (1) 求合振动的振幅; (2) 求合振
2、动的振动方程。,解: (1),(2),7,解：,例12: 两个同方向、同频率的简谐运动,其合振动的振幅为20cm,与第一个振动的相位差为 .若第一个振动的振幅为 .则(1)第二个振动的振幅为多少？(2) 两简谐运动的相位差为多少？,8,两矢量同向重合时：,合振动振幅A极大；,合振动振幅A极小。,两矢量反向重合时：,拍：合振动的振幅时强时弱的现象,2、同方向不同频率两简谐运动的合成 拍,9,拍现象,10,拍的周期,拍的频率(简称拍频),11,从解析式来分析：,12,拍现象的应用： 用音叉振动校准乐器 测定超声波 测定无线电频率 调制高频振荡的振幅和频率,当,但彼此相差很小，,13,3. 相互垂直
3、的简谐运动的合成,x方向的简谐运动,y方向的简谐运动,14,相互垂直的同频率简谐运动的合成,结论：两相互垂直同频率简谐运动的合成，其振动轨迹为一椭圆(又称“椭圆运动”)。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。,15,利萨如图 相互垂直的简谐运动的合成,两个互相垂直、不同频率的简谐运动合成时，如果它们的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状与频率比和相位差有关，这种图形叫做利萨如图。,Lissajous 1822-1880,16,其中频率为1:1的李萨如图为椭圆,在一定的相位差条件下,退化为一直线.,17,利萨如图形,相互垂直的简谐运动的合成,18,4-2-2 简谐运动的分解,两个频率比为
4、1:2的简谐运动的合成,如果将一系列角频率是某个基本角频率（亦称主频）的整数倍的简谐运动叠加，则其合振动仍然是以为角频率的周期性振动，但一般不再是简谐运动。,19,一个以为频率的周期性函数 f (t)，可以用傅里叶级数的余弦项表示为：,：主频,：n 次谐频,20,频谱分析,21,4-3 阻尼振动、受迫振动和共振,4-3-1 阻尼振动,阻尼振动：振动系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动。, ：阻尼系数,22,令,：无阻尼时振子的固有频率,：阻尼因子,动力学方程,23,方程解：,解二阶常系数齐次线性微分方程：,1、欠阻尼情况：阻力很小,24,周期：,角频率：,25,2、过阻尼情况:阻尼较大 (
5、)时，振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。,3、临界阻尼情况：当（ = ）时，为“临界阻尼”情况。是质点不作往复运动的一个极限。,26,总括起来有： 欠阻尼振动：振动为减幅振动,振幅随时间按指数规律迅速减少.阻尼越大,减幅越迅速.振动周期大于自由振动周期.,27,火炮的阻尼,28,新加坡摩天轮的阻尼防风,4-3-2 受迫振动和共振,系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动。,受迫振动：,策动力：,周期性的外力,设：,1. 受迫振动,29,由牛顿第二定律,令,二阶常系数非齐次线性微分方程的解：,驱动力,30,在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解， 为,第一项为暂态项，经
6、过一端时间以后趋向于零， 为积分常数，由初始条件确定；,第二项为稳定项，将特解 代入原方程求得,31,（1）,对t求导：,（2）,32,在（2）式中令t = 0：,1. 受迫振动是阻尼振动和简谐运动的合成。 2. 经一段相当的时间后，阻尼振动衰减到可以忽略不计，这样就成为一简谐运动，其周期为强迫力的周期，振幅、初相位不仅与初条件有关，而且与强迫力的频率和力幅有关。,结 论,33,稳定后的振动表达式：,结论：受迫振动的频率与策动力的频率相等。,受迫振动的振幅：,受迫振动的初相位：,结论：稳态响应的振幅与外力幅值成正比。,归纳:,34,共振：当策动力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅将达到极大值的现象。,2. 共振,求极值：,共振频率：,共振振幅：,0为固有频率,35,阻尼系数 越小，共振角频率r越接近于系统的固有频率O ，同时共振振幅Ar也越大。,结论：,36,受迫振动的速度：,速度幅：,时，速度幅极大,在速度共振条件下稳态振动的初相位为,结论：速度和策动力有相同的相位。即策动力对振动系统始终做正功。,速度共振又称能量共振！,37,共振小人,38,39,1940年，Tacoma Narrows大桥在通车4个月零6天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌。,40,
