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1、此功与起点、终点的位置有关，与移动路径无关， 说明点电荷的静电场是保守力场。,由于静电场的保守性，如果电荷 q0在静电场中沿一闭合环路移动 一圈，设P1、P2是闭合环路上的 两点，那么从P1P2与从P2P1 静电场力的功正好抵消。,说明1：上式中的 是 处的 。,说明2：高斯定律是静电场的第一个重要规律， 环路定理是静电场的第二个重要规律。,此式 左端的积分称为静电场的环流， 它是场强沿闭合路径的线积分。,说明3：利用环路定理可以分析一些问题：,常用下式表示静电场 的保守性：,称为静电场的环路定理,例2. 电力线为一系列 不均匀平行直线 的静电场 是不存在的。,例3. 平行板电容器必有 边缘效
2、应。,例1. 电力线闭合的电场,肯定不是静电场。,因为,说明4：利用环路定理（静电场的保守性）使我们 可以引入一个物理量-电势（见下）。,一.电势差：,由静电场保守性，说明静电场存在一个势函数。,8.4.4 电势差和电势,定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2 点，电场力作的功等于 P1点到P2点电势的减量。,两点之间的电势差， 并不仅由这两点处的电场决定， 它取决于电场的分布。,设 Po为电势为零的参考点，o =0 则静电场中任一点P1处电势为：,但不影响两点间的电势差。,电势差更为根本，因为它反映电场力做的功。,电势零点的选择可任意。电势零点的 选择改变了，各点的电势也都改变了
3、。,即P1点的电势，就是P1点与电势零点P0之间的电势差。,二. 电势：,电势零点的选择：,理论上： 对有限电荷分布，选=0。,习惯, 对无限大电荷分布， 选有限远 的适当点为电势零点。,实际上：常选大地或机壳的公共线 为电势零点。,电势是从电场力作功的角度来描述电场的物理量。,电场强度是从电场力的角度来描述电场的物理量。,例1：求点电荷 q 的电势分布。,利用电势定义（积分法） 取无限远为电势零点,【解】,-点电荷的电势公式,所以,例 2.求电量为 q(设 q 0)的均匀带电球面的电势分布。,（1）外: r R,【解】,任选一点P,均匀带电球面在外部空间的电势分布与全部 电荷集中在球心的点电
4、荷的电势分布一样。,取无限远为电势零点,（2）内: r R,有人说: 因 E内= 0 所以内 = 0 （对不对？）,任选一点P,均匀带电球面的内部空间是等电势空间。,从几何上来理解电势 与电场强度的关系,电势是电场强度的积分面积！,例 3. 求线电荷密度为 的无限长均匀带电直线的 电势分布。,取某一距离直线为 r0 的 P0点的电势为零。,【解】,任一点 P 的电势,这是无限大电荷分布，,r r0 的点，电势为负,r = r0 的点，电势为零,r r0 的点，电势为正。,可以看到，若选无限远为 电势零点， 会使积分发散。,8.4.5 电势叠加原理,由,得,（注意：用电势叠加原理时， 各电势的零
5、点应是同一点）,对点电荷系：,对有限的 连续电荷分布：,用“点电荷电势叠加的方法”：,例. 求半径为 R、带电量为 q 的细圆环 轴线上任意点的电势。,这是连续带电体, 任取一电荷元dq,【解】,用“点电荷电势叠加法”,取轴线上任一点 P，电势:,所以,等势面：,电场中电势相等的点组成的面称为等势面。 等势面是形象描述电场的一种表示方法。,画法：相邻等势面的电势差为常数。,例1. 正点电荷电场的等势面。,等势面有如下特点：,（1）等势面与电力线 处处正交。,（2）等势面密处场强大。,（3）等势面的电势沿电 力线的方向逐渐减小。,例2. 两个等量的正电荷的等势面。,电场线（实线）和等势面（虚线）
6、,例3. 电偶极子的等势面。,例4. 静电透镜（能使电子束聚焦）的等势面,待续,20,8.4.6 电荷在外电场中的静电势能,把电荷 q0 从电场中的 1点移到 2点过程中，,右端称为 静电势能W ( 或静电能W )的减量。,电场力作的功为,W = q0,（注意：点点对应）,21,静电势能是属于电荷 q0 和场源所共有的 （正如重力势能是属于物体和地球）， 也叫电荷之间的相互作用能。,例 1. 氢原子中的电子在原子核电场中的 静电势能为,22,例 2. 一个电偶极子在均匀电场中的静电势能为,均匀电场 + - -= -E l cos,若 = 0 ,则 W = - pE , 静电势能最小（稳定平衡）
7、,若 = ,则 W = + pE , 静电势能最大 (不稳定平衡),23,从电偶极子所受的力矩来看， 也应这样转动。,从电偶极子 的静电势能来看，,（有极分子在外电场中总是倾向于其 电偶极矩 转向外电场的方向）,回顾 :,静电场的环路定理,从P1点到 P2点，移动单位正电荷电场力作的功等于 电势的减量,点电荷的电势,设 P0为电势为零的参考点， 0 =0 ， 则静电场中任一点 P1处电势为：,无限长均匀带电直线的电势,等势面有如下特点：,（1）等势面与电力线 处处正交。,（2）等势面密处场强大。,（3）等势面的电势沿电 力线的方向逐渐减小。,均匀带电球面的电势,8.5 电势与电场强度的微分关系
8、,场强与电势的关系为:,有微量关系,下面研究,若 = 0，,电势的变化率最大。,数学上，若某一标量对 某一方向有最大变化率 （称为方向导数最大）， 则定义此最大变化率为 该标量的梯度。,电势 在 方向上的变化率的负值等于 场强 在 方向上的分量。,定义：电势梯度矢量,大小：为电势的最大 变化率，即电场 强度的大小,方向：为电势升高最快 的方向，,即与电场强度的 方向相反。,即“场强等于电势梯度矢量的负值”。,电势梯度矢量用 表示 ,有,将,有,它就是 场强与电势的微分关系。,利用它，可以由电势分布求场强分布。,这是 “场强等于电势梯度矢量的负值”的数学表示。,所以有,即,【解】前面已求得轴线上
9、的电势分布,由对称性分析可知， Ey=Ez=0，,例. 由均匀带电细圆环（半径为 R，电量为 q） 轴线上的电势分布，求轴线上的电场分布。,那么，E=Ex=?,(与前面结果相同 )）,8.5 电荷系的静电能,讨论: 一个带电体，它自身 有没有静电能？,如图，由于同号电荷之间有静电斥力， 在带电体形成的过程中必须 有外力克服静电力作功。,根据功能关系：外力克服静电力（保守力） 所作的功，应等于带电体自身静电势能的增量。,（它也等于带电体的各个电荷分散至 无限远的过程中，静电力所作的功）,如果我们把一个带电体系看成一个不可分割的整体， 它自身的静电势能也叫做“自能”。,（1）对相距为 r 的两个点
10、电荷q1、q2 带电系统：,让 q1不动，将 q2移到无限远的过程中， q2受到的电场力作的功为,自能公式,同理：让 q2不动，将 q1 移到无限远的过程中， q1 受到的电场力作的功为,由于A12=A21 ，可写成对称形式：,（2）对三个点电荷的带电系统：可得,1、 2、 3分别为 q1、q2、q3所在处，其他 两个电荷的电场的电势。,（3）推广至一般点电荷系：,（4）连续带电体的自能：,一个孤立带电体的自能：把电荷无限分割 并分散到相距无穷远时电场力作的功。,式中 dq 所在处的电势 （应指 dq 以外的所有电荷元造成的电势， 但 dq 非常小，所以也可以认为是 整个带电体在 dq 处的电
11、势）,因同号电荷之间是斥力，带电系统的自能是正的。,【解】均匀带电球面上的电势为,故其自能为,例. 设有一半径为 R 的均匀带电球面，带电量 为 -Q， 求此带电体的自能。,可以看出，虽然它带负电，它的自能仍是正的。,（下面要用到这个结果）,一个带电体的自能，由它的形状、大小、 带电量以及电荷的分布情况所决定。,如果这些都不变，那么它的自能就不变， 所以有时不考虑自能，只考虑相互作用能。,如果带电体系是由若干个带电体组成的， 把每个带电体看成一个不可分割的整体， 那么带电体系的总静电能，可以看成是 由各个带电体的自能和各个带电体之间 的相互作用能组成的。,8.5.2 静电场的能量,研究：静电能
12、与静电场强度是什么定量关系。,设想一个表面均匀带电的橡皮气球，带电量为Q， 由于电荷之间的斥力，气球会膨胀。,设在某一时刻半径为R，静电能量（已知）为,当半径增大 dR 时，电荷间 的斥力作了正功，此带电气 球的静电能量要减少。,半径为R+dR的薄壳外部的电场并没有变化，,只是薄壳层内的电场变为零了，电场消失了， 电场的能量也消失了。,所以，当半径增大dR时，气球减少的能量 就是减少了存储在 薄壳层内的电场能量。,由,半径为R的球面内是没有电场的，也没有静电能，,它和薄壳层内的电场强度是什么关系呢？,即为存储在薄壳层的电场能量，,薄壳层内的电场强度是,所以，,由于薄壳层内的电场强度可以看成大小
13、 基本相同，所以单位体积内的电场能量为,-称为电场能量密度,这就是某处电场的能量密度与该处电场强度 之间的关系。此关系式有普遍性。,任何一个带电系统的静电场的总能量为,所以，薄壳层的电场能量,例. 求半径为 R、带电量为 -Q 的均匀带电 球面的电场能量。,说明1 ：带电体的电场能量正好就是带电体的 自能 （静电能）。,说明2 ：静电场是物质，静电能存储在静电场中。,对静电场来说，电荷和电场总是同时存在相伴 而生的，使我们无法分辨电能是与电荷还是电场 相关联。,迅速变化的电场和磁场是以电磁波的形式在空 间传播，电场可以脱离电荷而传播。因此可知， 电能是定域在电场中的。,说明3 ：计算一个带电体静电能的两种方法：,（1）计算其电场能量,（2）计算其自能,真空中静电场小结（提纲）,一、线索（基本定律、定理）,二、基本物理量之间的关系,环路定理,高斯定律,
