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1、 研究力 (力矩) 在空间的积累效应。, 注意:,1. 提高对 “功、动能、动能定理、势能、功能原理、机械能守恒定律”的理解。,2. 搞清规律的内容、成立条件。它们与参考系的关系,(或),4.1 功 保守力的功 力矩的功,一、功,1、恒力的功,定义功 -恒力对直线运动的质点的功等于力在作用点位移方向的分量与位移大小的乘积。或等于力与其作用点的位移的标积。,2、变力的功,对微小过程，可当成恒力 的直线运动:,称为“力沿路径 L 的线积分”,(L),(1)功是过程量；,(2)功是标量（有正负）；,由于,3、合力的功,质点同时受几个力 的作用， 功分别为,，则总功为：,则总功为：,合力的功为分力功的
2、代数和,直角坐标系：,4、示功图,x,o,a,b,总功 = 曲线下的面积,二、功率,功的快慢,1、平均功率,用图解法求功有直接、方便等优点。,2、瞬时功率,三、保守力的功,1、重力的功,功率等于力矢量与力作用点的速度矢量的标积,重力的功 在地面附近质量为 m 的物体从 a 到 b，求重力的功：,蚂蚁在作功,重力做功仅由起点、终点的位置决定，与路径无关。,推论：,2、 万有引力功,一对万有引力的功：,以 M为参考系的原点计算起来就非常方便 只要算一个力的功 即可:,万有引力的功“与质点的始末位置有关，与路径无关。,一水平桌面上放置的弹簧振子小球从A点运动到B点的过程中,求弹性力对小球作的功:,3
3、、弹性力的功,只与始末位置有关，与具体路径无关。,4、保守力和非保守力,一质点相对于另一质点沿闭合路径运动一周时，它们之间的保守力做的功必然是零。,保守力的另一种表述：,做功“与质点的始末位置有关，与路径无关，这种性质的力称为保守力”；反之为非保守力。,常见的保守力:, 万有引力 ( 或有心力）, 弹力 （或位置的单值函数）, 重力 （或恒力）,常见的非保守力（耗散力）：, 摩擦力, 爆炸力, 磁力和非静电力., 静电场力 ,四. 力矩的功,对转动（功）无贡献,现在讨论力矩对空间的积累效应：,设刚体转过角度 ，刚体上P点受到外力 的作用，位移为, 功为 。,此式称为力矩的功（实质上仍然是力的功
4、）, 4.2 动能定理,一、动能 质点的动能定理,设合力为 ，由牛II ，,一个过程量=始末两个状态量之差。,动能定理只适用于惯性系。,说明:,“合力对质点作的功等于质点动能的增量”,质点的动能定理,二 . 质点系的动能定理：,对整个质点系：,简记为:,注意：1. 内力是成对出现的， 但内力功之和不一定为零。,例如，两个异号点电荷相吸引,2. 内力不能改变系统的总动量， 但能改变系统的总动能。,“所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。”,-质点系的动能定理,内力功（成对力的功）,设一对力分别作用在两个物体上，大小相等，方向相反 即：,一对力的元功:,初位形（A）
5、: m1-A1，m2-A2,末位形（B）: m1-B1， m2-B2,.一对力的功等于其中一个质点受的力沿着 它相对于另一质点移动的路径所作的功。,.由于一对力的功只与“相对路径”有关， 所以与参考系的选取无关。,计算一对力的功时,可以认为一个质点（如m1 ）静止，把它作为参考系的原点，再计算另一质点（如m2 ）在此参考系中运动时它所受力做的功。,说明:,当,3.,例如：质量为m的物体在地面上下落高度为h时，它受的重力与地球受它的引力这一对力做的功之和，就等于mgh。,例：小物体下滑，大物体后退，一对滑动摩擦力的功是否为零？,答：不为零,无论大物体怎么运动， 这一对力的功总是零，,因为它们之间
6、没有相对运动,一对静摩擦力的功恒为零！,例：小物体下滑，大物体后退， 一对正压力的功是多大? ?,例：一对静摩擦力的功是多大？,为什么？,成对保守力的功：,在任意的参照系中成对保守力的功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关,一对正压力的功恒为零！,三、刚体定轴转动动能定理,1、刚体定轴转动的动能:,2、刚体定轴转动的动能定理,刚体是一个特殊的质点系，质点系的动能定理适用于刚体，则：,因为刚体内各质元无相对运动，A内=0，则：,即：,定轴转动动能定理,“刚体绕定轴转动时，转动动能的增量等于刚体所受外力矩所作的总功”,应该：,例.刚体的势能等于 如图所示，某人说：刚体的动能
7、等于,你同意吗？,【答】,应该,【答】,1、质心系不必是惯性系。,刚体平动时，质心的运动完全可以代表 刚体的运动； 刚体转动时，质心的运动不能完全代表 刚体的运动！,我们可以看到：,2、对刚体上任一点（基点）的转动角速度 都是相同的。,P116 例题4.5,若B从静止开始下落时，合外力矩对c做的功=？ c的角速度=？,解：对c的合外力矩为,由动能定理,一对保守力的功只与系统的始末相对位形有关，说明系统存在一种只与相对位形有关的能量。,例如:一端固定在墙上的水平弹簧振子,一对弹性力的功:,4.3 势能（potential energy）,一、保守力场,质点所受保守力作用的空间分布称为保守力场,利
8、用保守力的功与路径无关的特点，可引入“势能” 的概念。,二、势能 Ep,其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。,定义：,系统由位形(a)变到位形(b)的过程中，,它与始末相对位形有关,与运动过程无关。,三、 几种势能,1.万有引力势能,令,有,若规定系统在位形（b）的势能为零， 则：,2.重力势能,令,3.弹性势能,令,有,有,说明：,1. 势能属于有相互作用的系统,势能零点的选择不同,势能的值不同, 但不影响两势能之差，即不影响一对保守力的功。,因为一对保守力的功不依赖于参考系的选择。,因为它是与一对保守力的功联系在一起的。重力势能为 mgh，好象只与一个物体的质量有关，其实这是以地球
9、为参考系的缘故。,2. 势能的差值不依赖于参考系的选择,3. 势能零点的选择可以任意。,四、由势能求保守力*,对于一个微元过程，保守力的功有:,一般:,（梯度算符）,记作：,比较（1）、（2）式有：,如何由势能求保守力?,如何由保守力求势能?,例 2. 由万有引力势能求万有引力。,例 1. 由弹性势能求弹性力。,已知,4.4 机械能守恒定律 能量守恒定律,一、机械能守恒定律,若为孤立系，则：,系统的机械能E=Ek+Ep,“如果在质点系的运动过程中， 只有保守内力作功(外力和非保守内力都不作功)，那么这过程机械能守恒。”,-机械能守恒定律,机械能守恒,守恒条件：,说明：,1.,2. 机械能守恒定
10、律也只适用与惯性系。但是，在一个惯性系中机械能守恒, 在另一个惯性系中机械能不见得守恒。,要看机械能守恒条件在该惯性系中是否成立？,二、功能原理,一个质点系的机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功之和 -功能原理,说明：(1)、功能原理属于质点系的动力学规律，不必考虑保守内力的功。(2)、功能原理只适于惯性系。,注意：质点系的功能原理及机械能守恒定律适用于刚体。,刚体的重力势能Ep=mghc (质量集中于质心）,P126页例4.9,【解】,“杆+地球”系统，,(1),(2),由(1)、(2)解得：,只有重力作功，,求: 杆下摆到 角时， 角速度 ？,E机 守恒。,例 已知：均匀直杆质量为m，
11、长为l，轴o光滑，,，初始静止在水平位置。,补充例题质量 m，长 l 的均匀细杆可绕通过其上端的水平光滑固定轴 0 转动，质量也是m 的小球用长度也是 l 的轻绳系于上述 0 轴上。设细杆静止在竖直位置，将小球在垂直于0 轴的平面内拉开角度为 ，然后使其自由下摆与杆端发生弹性碰撞，结果使杆产生 /3 的偏角。求： =？,【解】 小球下摆过程： 系统：小球+地球 条件：只有保守力 作功 所以E机守恒,条件：小球和杆的重力（外力） 对0 轴几乎无力矩, 有轴力（外力），但也无力矩。,M外=0，,系统角动量守恒, 碰撞过程：,系统：小球+杆 动量守恒 ？,(答：不守恒！）,四个未知数，三个方程，还应
12、找一个方程。, 杆上摆过程： 由E机守恒可得,联立可以解得,题意：弹性碰撞，所以动能守恒,补充例题 已知：如图所示. m =0.2kg, M= 2kg, v =4.9m/s， 求：hmax=?,系统: m + M +地球,条件: A外=0，A非保内=0 故机械能守恒.,当 h = hmax的时刻， M与 m 速度相同， 设为V，沿水平方向。,【解】,对m+M：水平方向F外=0，水平方向动量守恒。,（竖直方向动量守恒否？）,mv =（m+M）V (2),由(1) (2)得,特例:,代入数据：,物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究， 从方法论上看：,自然界中许多物理量如动量、角动量、机械能、电荷
13、、质量等等，都具有相应的守恒定律。,利用守恒定律研究问题，可避开过程的细节， 而对系统始、末态下结论（特点、优点）。,从适用性来看：,守恒定律适用范围广，宏观、微观、 高速、低速均适用。,三、 能量守恒定律,这是在美国 加州的 一组排成阵列的镜子， 它们将太阳光会聚到 塔顶处的锅炉上。 太阳能热能,大量事实表明: 一个孤立系统无论经历何种变化,系统各种形式能量的总和是不变的-这称为普遍的能量守恒定律,从本质上看： 守恒定律揭示了自然界普遍的属性对称性。,4.5 碰撞（Collision）,碰撞过程一般都十分复杂，难于对过程的细节进行分析。但是通常我们只关心物体在碰撞前后运动状态的变化，而在碰撞
14、中相对于内力（往往是冲击力）来说，外力又往往可以忽略。因而碰撞中我们就可以利用动量守恒、角动量守恒和碰撞前后总动能不变（对弹性碰撞）等规律对问题求解。,2001.9.11（大灾难）,一、碰撞,特点：碰撞时物体间相互作用内力很大，其它力相对比较可忽略。即碰撞系统合外力为零。故动量守恒。,碰撞,机械能,二、对心碰撞,以m1 , m2 为研究对象，系统动量守恒,牛顿提出碰撞定律：碰后的分离速度与碰前的接近速度成正比，比值由两球的质量决定。即：,(e为恢复系数),（a）当e = 1 时，即完全弹性碰撞，有：,由（1）（2）式得：,即两球系统的动能守恒,（b）当 e = 0 时，有：,称为完全非弹性碰撞,
