初等代数研究--第3章--方程

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1、1,方程的历史发展及其科学价值 方程的定义 同解方程 几种常见方程的变形 解方程的常用方法（第五组报告） 一元三次、四次以及高次方程 韦达公式、方程根的性质 不定方程与中国剩余定理 有关方程的问题求解（第六组报告）,2,一 方程的历史发展及其科学价值,方程发展简史 方程在中学数学中的地位和作用 方程的科学价值,3,1 方程发展简史,公元前1700年时期古埃及数学著作兰德纸草书记载：一个量，加上它的1/7，等于19，求这个量。另一部古埃及数学著作柏林纸草书6619上有一个题目是“将一个面积为100的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另一个的3/4”。 古巴比伦泥板书上也有类似的数学问题：“两数

2、互为倒数，二者之差是7，求这两个数”。 欧几里得几何原本中则有很多问题还要用到解二次方程。,4,中国古代数学著作九章算术中有“方程”章，包含了很多关于方程的问题。 “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？” 九章算术没有表示未知数的符号，而是用算筹将x、y、z的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”这一名称的来源。,5,解方程的关键算法叫“遍乘直除”，实质上是我们今天使用的解线性方程组的消元法。西方文献中称之为“高斯消去法”。方程术是世界数学史上的一颗明珠。,6,“

3、勾股”章第20题：“今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？”,利用三角形相似可得方程x2+34x=71000.,7,希腊数学家丢番图算术中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不定方程。但没给出一元二次方程的解法。 印度数学家阿耶波多在阿耶波多历数书中给出了二次方程的求解方法。婆罗摩笈多在公元628年完成的婆罗摩笈多修正体系一书中，也给出了一般二次方程的求根公式。 花拉子米的代数学一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的。该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述。,8,13世纪的中国，在求

4、高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献。1247年，秦九昭给出了一般高次方程的数值解法。李冶创立的“天元术”（1248年）和朱世杰使用的“四元术”（1303年）能够求解一大类的高次联立方程。 16世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式。 1545年，卡尔达诺在大衍术中给出了三次方程和四次方程的解法。,9,19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出。 1832年，伽罗瓦在临终前写下了方程的伽罗瓦理论的短文，其中提供了用欧几里得工具解几何作图题的可能性和用根式解代数方程的可能性的判别法则。奠定了群论的基础。 进入20世纪：一般的

5、线性方程组求解和实际算法；一般的多元高次方程求解；任意多元高次方程的求解。,10,秦九韶,拉格朗日,阿贝尔,11,2 方程在中学数学中的地位和作用,高中阶段对方程学习有较高的要求，重点在于领会方程和函数之间的密切关系以及代数方程与几何图形之间的密切关系。 具体包含以下几方面：函数与方程，直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程，二阶矩阵与二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方程等等。,12,3 方程的科学价值,自学,13,二 方程的定义,1. “属+种差”的逻辑定义方式 目前中学数学教科书中通用的方程定义是：含有未知数的等式。 好处：比较直观、形象，便于初学者理解和掌握。 缺点：无法从中获得方程

6、思想的实质；可能使方程概念的外延模糊。在中学，方程等许多概念都不能严格定义，只能加以形象描述。,14,2. 一个可以取代的定义：方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。 好处在于： 它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数； 陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系； 方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。 方程的逻辑定义不必深究，需特别关注求未知数的思想。,15,3. 用解析式对方程定义： 形如 的等式叫做方程，其中 是在它们定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常函数。,本质上没有给出更多有用信息，只是达到形式化的目的。好

7、处是确定了未知数的取值范围。在实际教学中，不必采用“解析式”的方程定义，只需采取适合中学的通俗定义加以说明就够了。,16,根据解析式的不同形式对方程分类：,17,据方程的解集和定义域的关系对其分类：,解集是定义域的真子集 恒等方程 矛盾方程 方程解的情况与所在数域有关。,18,三 一元同解方程,定义1 如果方程f1(x)=g1(x)的任何一个解都是方程 f2(x)=g2(x)的解，并且方程的任何一个解也都是方程的解，那么方程和称为同解方程。 两个无解方程认为是同解方程。 解集相同，且相同的根具有相同的次数，才是同解方程。 还要看数域,19,定理1 如果函数A(x)对于方程f(x)=g(x)的定

8、义域M中的数都有意义，那么方程 f(x)=g(x)与方程 f(x)+A(x)=g(x)+A(x)同解。 证：设x0M，且有f(x0)=g(x0) ，从而有f(x0)+A(x0)=g(x0)+A(x0) ，即方程f(x)=g(x)的每一个解都是方程f(x)+A(x)=g(x)+A(x)的解。 如果f(x0)+A(x0)=g(x0)+A(x0) ，由f(x0)+A(x0) -A(x0)=g(x0)+A(x0)-A(x0) ，可得f(x0)=g(x0) ，即方程f(x)+A(x)=g(x)+A(x)的每一个解也都是方程f(x)=g(x)的解。 这两个方程是同解方程。,20,定理2 如果函数A(x)对

9、于方程f(x)=g(x)的定义域M中的数都有意义，并且不等于零，那么方程 f(x)=g(x)与方程 A(x)f(x)=A(x)g(x)同解。 定理3 如果 ，那么方程 的解集等于下列各个方程： 的解集的并集，其中每一个解都属于这k个方程的定义域的交集。,21,定理4略,解方程时，如果按照上面定理将原方程变形，或者在不改变定义域的前提下做恒等变形后所得到的方程与原方程是同解的，这样的变形称为解方程的同解变形。,22,四 几种常见方程的变形,在方程变形过程中，会出现定义域变化的情况。 若新定义域相对于原定义域有扩大部分，可能产生增根； 若新定义域相对于原定义域有缩小部分，可能会失去根。,23,1：

10、,24,2：,25,3：,4：,26,5：,6：,27,7：,28,五 解方程的常用方法,同学交流。,29,六 一元三次、四次以及高次方程,一元三次方程的解法 一元四次方程的解法 五次及五次以上代数方程无求根公式 代数基本定理,30,1 一元三次方程的解法,将其二次项系数化为0：,31,任何一元三次方程都可以通过式转换成缺二次项的一元三次方程。,32,33,34,35,对实系数一元三次方程根的讨论：,36,37,38,39,40,一般一元三次方程的解法的思路是化为缺二次项的三次方程，再作变换转换为二次方程来求解。,41,2 一元四次方程的解法,自学教材。 一般四次方程的解法也是转换为缺项的四次

11、方程，再将缺项的四次方程转换为三次方程，解出三次方程后，再求出四次方程的根。,42,3 五次及五次以上代数方程无求根公式,一般五次及五次以上方程不能用根式求解。 自学教材。 4 代数基本定理,43,七 韦达公式、方程根的性质,韦达公式 方程根的性质,44,1 韦达公式,45,2 方程根的性质,倍根变换（例1：负根变换） 差根变换（一元三次、四次方程消去n-1次项） 倒根变换 重根的含义 正根个数的判定（例2）,46,47,48,正根个数判定（笛卡尔）,设f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+an-1x+an的根全为实根，假定a00,并写出方程的系数序列a0、a1、a2、an，去掉其中

12、等于零的那些项。 如果余下的序列中相邻的两个符号相反就叫做一个变号。 变号数的总和叫做一个多项式的系数序列的变号数。 f(x)=0的正根个数就等于它的系数序列的变号数。,49,八 不定方程与中国剩余定理,不定方程 中国剩余定理,50,1 不定方程,所谓不定方程，通常是指未知数的个数多于方程的个数的整系数代数方程。 一般地，不定方程有无穷多组解，有许多问题可归纳为求不定方程的整数解。 求不定方程的一切整数解的过程叫解不定方程。,51,定理1 设二元一次不定方程为 ，其中a，b，c都是整数且a，b都不是0，有一组整数解 ；又设 则一切整数解可以表示成： 其中 定理2 二元一次不定方程有整数解的充分

13、与必要条件是,52,例1 求不定方程7x+4y=100的整数解 例2 求方程42x-29y=5的整数解 (x0=74,y0=107) 练习,53,2 中国剩余定理,孙子算经的题目 解决方法 中国剩余定理,54,孙子算经中的题目 我国古代数学名著孙子算经中有“物不知其数”的 题目： 今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？,55,孙子算经,56,解决方法 我们先对（*）式作两个方面的简化：一方面是每次只考虑“一个除式”有余数的情况（即另两个除式都是整除的情况）；另一方面是把余数都简化为最简单的1。这样得到三组方程。,57,（1）式意味着，在5和7的公倍数中（3

14、5，70，105，）寻找被3除余1的数； （2）式意味着，在3和7的公倍数中（21，42，63，）寻找被5除余1的数； （3）式意味着，在3和5的公倍数中（15，30，45，）寻找被7除余1的数。,58,对（1）式而言，这个数可以取70，对（2）式而言，这个数可以取21，对（3）式而言，这个数可以取15。 于是（1）式两边同减70变为这样：第二式右边仍是5的倍数，第三式右边仍是7的倍数，而第一式右边因为减的70是“用3除余1”的数，正好原来也多一个1，减没了。第一式右边也成为了倍数，是3的倍数。,59,（2）式两边同减21变为,60,（3）式两边同减15变为 于是得到,61,现在重复一下：所得

15、的x是被3除余1，被5和7除余0的数；y是被5除余1，被3和7除余0的数；z是被7除余1，被3和5除余0的数。,62,那么，凑出 ， s 不就是我们需要求的数吗？,63,因为，用3去除s时，除y及除z均余0 除3y及除2z均余0， 又除x余1 除2x余2，用3除s时余2。 用5去除s时，除x及除z均余0 除2x及除2z均余0， 又除y余1 除3y余3，用5除s时余3。 用7去除s时，除x及除y均余0 除2x及除3y均余0， 又除z余1 除2z余2， 用7除s时余2。,64,于是我们要求的数是 这就是孙子算经中“物不知其数” 一题的解，有无穷多解，最小的正整数解是 23（ 时）。,65,这里，（1），（2），（3）三式分别叫三个“单因子构件”，分别解得 每个单因子构件，都是用某一个数去除余1，用另两个数去除均余0的情况。再据题目要求余数分别是2，3，2的情况，凑成,66,所以，上述方法叫“单因子构件凑成法” 解决“由几个平行条件表述的问题”的方法 （ 也称“孙子华方法”） 题： 有物不知其数，三三数之剩a，五五数 之剩b，七七数之剩c，问物几何？ 答：解为 （ 的选取应使 ）.,67,中国剩余定理 1247年南宋的数学家秦九韶把孙子算经中“物不知其数”一题的方法推广到一般的情况，得到称之为“大衍求一术”的方法