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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（二）注意事项：1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】由集合，则或.2.若复数满足，则复平面内
2、表示的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】，则复平面内表示的点位于第四象限.3.函数的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】函数是偶函数，排除选项B；当时，函数，可得，当时，函数是减函数，当时，函数是增函数，排除选项A，D，故选C.4.在中，（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】中，又，即，解得.5.在中，分别是角，的对边，则角的正弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】由，可得，根据余弦定理得，.6.双曲线（）的一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】双曲线（）的一条渐近线方程为，或，双曲线的离
3、心率为或.7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框中可以填入的条件是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】该程序框图的功能是计算的值.要使输出的的值为，则，即.故中应填.8.已知单位圆有一条直径，动点在圆内，则使得的概率为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】由可知，在向量上的投影为，所以点所在位置为半个圆，面积占整个圆的，所以概率为.9.长方体，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】，异面直线与所成的角即为与所成的角.在中，.10.将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一个对称中心是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】将
4、函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，令，求得，令，可得图象的一个对称中心为.11.已知是定义在上偶函数，对任意都有且，则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，知函数为周期函数，且周期，则.12.过抛物线：（）的焦点的直线交该抛物线于、两点，若，为坐标原点，则（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得，则，所以，设直线的方程为，设，且，因为，所以，则， 由，整理得，所以， 联立可得，即直线的方程为，又，整理得，解得或，故，所以根据抛物线的定义可知，所以.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23)题为
5、选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知某大学由大一人，大二人，大三人.为该大学学生的身体健康状况，该大学负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若在大二学生中随机抽取了人，试问这次抽样调查抽取的人数是 人.【答案】【解析】根据题意可得抽样比为，则这次抽样调查抽取的人数是.14.若变量，满足约束条件，则的最大值为 .【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图所示：可化为.当直线过点时，取最大值，即.15.已知，则 .【答案】【解析】由已知得，解得，.16.已知一个正八面体的所有棱长均为，则该正八面体的外接球的表面积为 .【答案】【解析】正八面体的
6、所有棱长均为，外接球的直径为正八面体的体对角线长，所以球的半，故外接球的表面积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（12分）已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设数列的公比为，由已知，由题意得，所以，解得，.因此数列的通项公式为.（2）由（1）知，.18.（12分）经调查，个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：，.（1）请画出上表数据的散点图；（2）
7、请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程.（，的值精确到）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为的岁的老人，属于哪类人群？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）画出散点图如图：（2），.回归直线方程为.（3）根据回归直线方程的预测，年龄为岁的老人标准收缩压约为（），收缩压为的岁老人为中度高血压人群.19.（12分）已知椭圆：，其短轴为，离心率为，双曲线（，）的渐近线为，离心率为，且.（1）求椭圆
8、的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）由题意可知：，双曲线的离心率，则椭圆的离心率为，椭圆的离心率，则.椭圆的标准方程：.（2）设直线的方程为，消去整理得：，设，则，将，代入上式得，即.20.（12分）在四棱锥中，底面四边形中，;中，平面平面.（1）证明：平面；（2）若，为线段的中点，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由，可知，四边形为为正方形，由中，所以为为等边三角形.取得中点，连接，因为为等边三角形，所以，又因
9、为平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为底面为正方形，所以，因为，所以平面，因为，所以平面.（2）由（1）得平面，所以到平面的距离，因为底面为正方形，所以，又因为平面，所以平面，所以，两点到平面的距离相等，均为，又为线段的中点，所以到平面的距离，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以.21.（12分）已知函数，为自然对数的底数.（1）当时，判断零点个数并求出零点（2）若函数存在两个不同的极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）只有一个零点，零点为；（2）.【解析】（1）由题知：，令，当，所以在上单调递减，因为，所以在上单调递增，在单调递减，所以，故只有一个零点，零点为.（2）由（1）知
10、：不合题意，当时，因为，；，；又因为，所以；又因为，因为函数，所以，及，所以存在，满足，所以，；，；此时存在两个极值点，符合题意.当时，因为，；，；所以；所以，在上单调递减，所以无极值点，不合题意.综上可得：.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。【选修4-4：坐标系与参数方程】22.（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程分别为，.（1）求和交点的极坐标；（2）直线的参数方程为：（为参数），直线与轴的交点为，且与交于，两点，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由，极坐标方程分别为，.化为平面直角坐标系方程分为，.得交点坐标为，.即和交点的极坐标分别为，.（2）把直线的参数方程：（为参数），代入，得，即，所以.【选修4-5：不等式选讲】23.（10分）已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正数，满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，函数，.若，则有或，解得，故原不等式的解集为.（2）函数，分析可得的最小值为，即；则正数，满足，即，.即的最小值为
