测量学-第六章.

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1、第五章 测量误差的基本知识,1.测量误差的分类 2.评定精度的指标 3.误差的传播定律 4.算术平均值及中误差 5.同精度观测值的中误差 6.不同精度观测,第一节 测量误差的分类,在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量误差，即: 测量误差 = 真值 - 观测值 测量误差的来源 （1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等,第一节 测量误差的分

2、类,测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差 1.粗差(错误)超限的误差 2.系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校) 3.偶然误差误差出现的大小、符号各不相同表面看无规律性。 例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均) ,第一节 测量误差的分类,误差的处理原则 1.避免错误 2.多余观测：为了防止错误和提高观测精度，在测量工作中一般需要进行多余必要的观测（距离、角度） 3.系统误差应

3、当近可能的按照其产生的原因和规律加以改正,第一节 测量误差的分类,偶然误差特性 举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内 角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。,第一节 测量误差的分类,第一节 测量误差的分类,用频率直方图表示的偶然误差统计： 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。,各条形顶边中点连线经光滑后的

4、曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律,第一节 测量误差的分类,偶然误差的特性,从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性： (1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)； (2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋势性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性)：,特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。,偶然误差具有正态分布的特性,当观测次数n无限增多(n)、误差区间d无限缩小(d0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线

5、称为“正态分布曲线”， 又称为“高斯误差分布曲线”。 所以偶然误差具有正态分布的特性。,第二节 评定误差精度指标,几个概念 准确度 (测量成果与真值的差异） 精（密）度（观测值之间的离散程度） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 测量平差（求解最或是值并评定精度） 一、平均误差 在实际工作中，采用对某量有限次数的观测值来求得算术平均值，即：,第二节 评定误差精度指标,二、中误差,测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。 观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形,观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形,第二节 评定误差精度指标,第二节 评定误差精度指标,m1=2.7

6、是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。 m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：,第三节 评定误差精度指标,三、允许误差,根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概 率为：,评定误差精度指标,三、相对误差(相对中误差) 误差绝对值与观测量之比。 用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。,K2K1，所以距离S2

7、精度较高。,K1= = ； K2= = ,100 5000 200 10000,0.02 1 0.02 1,第三节 误差传播定律,在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。,第三节 误差传播定律,第三节 误差传播定律,一、线性函数中误差 线性函数一般表达式 式中x1、x2xn分别为独立观测值 式中k1、k2kn分别为x的常系数 1.倍函数,第三节

8、 误差传播定律,例一:在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离S=163.6mm，其中误差ms=0.2mm。求A、B两点实地距离D及其中误差mD。, D = 81. 80.1(m),mD=MmS = 5000.2(mm) =0.1(m),解：D = MS = 500163.6(mm) = 81.8(m) (M为比例尺分母),第三节 误差传播定律,2.和差函数,例二 某水准路线各测段高差的 观测值中误差分别为 h1=18.316m5mm，h2=8.171m4mm， h3=6.625m3mm， 试求该水准路线高差及其中误差。, h=16.882m7.1mm,解 h = h1+h2+h3=

9、16.862() m 2h= m21+ m 22m 23 =52+42+32 m h=7.1(mm),第三节 误差传播定律,3.一般线性函数中误差 二、非线性函数中误差,二、非线性函数中误差,例：已知直线MP的坐标方位角=722000， 水平距离D=240m。如已知方位角中误差 ，距离中误差 ， 求由此引起的P点的坐标中误差 、 ， 以及P点的点位中误差 。,解：,由误差传播定律：,P点的点位中误差：,第三节 误差传播定律,通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结求观测值函数中误差的步骤： 1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。,例：量得地形图上两点间长

10、度 =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms：,解：列函数式 求全微分 中误差式,三.几种常用函数的中误差,设有函数式 全微分 中误差式,例：设有某线性函数 其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分 别为 求Z的中误差 。,2.线性函数的中误差,函数式 全微分 中误差式,3.算术平均值的中误差式,对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。,4.和或差函数的中误差,当等精度观测时： 上式可写成：,例： 测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ， 求总高差 的中误差 。 解：,函数式： 全微分： 中误差式：,例：

11、试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解:(1)测量水平距离的精度 基本公式：,求全微分：,其中：,水平距离中误差：,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解: (2)测量高差的精度 基本公式：,求全微分：,其中：,高差中误差：,例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差.,(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 其中: 求该正方形的周长S和面积A的中误差.,解: (1)周长 ,全微分:,周长的中误差为,面积 ,全微分:,面积的中误差为,(2)周长 ;周长的中误差为,面积,全微分:,但由于,得周长的中误差为,第四节 算术平均值及其中误差,二、算术平均

12、值中误差,x是根据观测值所能求得的最可靠的结果，称为最或是值或算术平均值。,一、算术平均值,在实际工作中，采用对某量有限次数的观测值来求得算术平均值，即：,函数式 全微分 中误差式,算术平均值的中误差式,对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。,用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m15 。,第五节 同等观测值的中误差,观测值的算术平均值(最或是值) 用观测值的改正数v计算观测值的 中误差 (即:白塞尔公式),观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值) 对某未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平

13、均值为：,证明算术平均值为该量的最或是值：,设该量的真值为X，则各观测值的真误差为 1= 1- X 2= 2- X n= n- X 上式等号两边分别相加得和：,x= =,1+2+n,n,当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。,观测值的改正数v ：,Vi = L - i (i=1,2,n),以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数 v ，符合vv=min 的“最小二乘原则”。,精度评定 用观测值的改正数v计算中误差,由上两式得,对上式取n项的平方和,其中:,中误差 定义:,白塞尔 公式:,算

14、例 例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表， 求其算术平均值及观测值的中误差。 解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计 算其中误差：,7642451.74 ,算例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术平均值 ； 观测值的中误差 ； 算术平均值的中误 差 ； 算术平均值的相对中误差 ：,凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。,第六节 不同精度观测,一、权的概念 权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。 1 权的定义： 设一组不同精度的观测值为l i ,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为,称

15、Pi为观测值l i 的权。,1. 权的定义：,对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：,2 权的性质 （1）权表示观测值的相对精度； （2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高； （3）权的大小由选定的值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个值。,二、测量中常用的定权方法,1 同精度观测值的权 对于一组同精度观测值l i ，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定= m2，则一次观测值的权为：,n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：,同精度观测值算术平均值的权为：,2 单位权与单位权中误差 对于一组不同精度的观测值l i ，一次观测的中误差为mi ，设某次观测的中误差为m，其权为P0，选定= m2，则有：,数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用表示。对于中误差为mi的观测值，其权为：,相应中误差的另一表示方法为,3 水准测量的权与测站数成反比，或者与路线长度成反比。,4 角度测量的权与测回数成正比。,5 距离测量的权与长度成反比,三、非等精度观测值的