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1、2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,1,有了定义在集代数A上的测度，我们考虑如何产生测度在-代数(A)上的扩张？最后得到 “测度扩张定理”。 首先必须明白什么叫“扩张”？ 定义1.2.3 A1，A2是上的两个非空集合类，且A1 A2， i是Ai上的测度(i=1,2)， 若对AA1 ,有1(A)=2(A)， 则称2是1在A2上的扩张(1是2在A1上的限制)。,二、测度的扩张定理,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,2,以下讨论的前提是A是上的集代数，是A上的测度,称F上的v*是由A上的v所引出的外测度。 (所有的A的覆盖的测度和的下确界，即为A的外测度。) 注意：这里可列多个
2、集合的并也包括有限个集合并的情况。 外测度不见得是测度！,1、F上的外测度*(A),对任意A F，定义,SA,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,3,下确界（infimum）：,对于给定的数集S=x，若数满足条件： (1) 是S的下界，即对xS，有x; (2)对任何大于的数，一定存在S中某个 数x0，使得x00, x0S,使得 x0+) 则称为数集S的下确界，记作： =inf S,例：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,4,引理1.2.1 由集代数A上的测度引出的F上的外测度*，满足：,下面讨论外测度的性质：,证明：（1）因AA，由外测度定义，有： * (A) (A) 因
3、此，只需证明* (A) (A),不减性,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,5,综上所述(A)= *(A),下面证明* (A) (A)，只需说明(A)为A的所有覆盖的测度和的下界即可,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,6,即：外测度是单调上升的函数。,即覆盖B的集合序列一定覆盖A,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,7,则结论显然成立。,由定义：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,8,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,9,为了把那些满足可加性的集合挑选出来，我们引入 *可测集的概念，并构成一个新的集合类A * ，从下面的分析可以看到，该集
4、合类A *不仅为-代数，而且 * 是A *上的测度。,问题： 外测度 * 在F上未必满足-可加性!,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,10,2、 *可测集,（1.2.3）,（1.2.4）,证明：必要性显然成立 下面简单说明充分性：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,11,由引理1.2.1，有 *()=0 由引理1.2.1(3)知外测度函数 *具有次可加性，则在引理1.2.1(3)中取,我们记A *为所有 *可测集组成的集合类。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,12,引理1.2.3 A *满足： （1） A *是-代数；(若集代数对可列不交并封闭则为-代数）
5、,证明： （1） 首先证明A *是集代数 a、 *()=0，D ，有：,（1.2.4）式的定义具有对称性, A *,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,13,则有：AB A *,综上所述知A *是集代数。,（1.2.5）,c、A，BA *，有：ABA * 若A，BA *，则对D ，有：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,14,下面说明A *是-代数，只需证A *对可列不交并运算封闭。 设An A *，n=1,2,， Ai Aj=，ij，则：对D，有：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,15,令n，有：,A * ，则A *是-代数。,（1.2.6）,由前面结论，
6、有：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,16,引理1.2.3 A *满足：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,17,由前面的结论，有:,由（1.2.6）式：,结论得证。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,18,（3）欲证 *是A *上的测度，只须说明 *在A *上满足-可加性。,考虑到v*()=0，所以A A *上，有： v*(A)0 则v*是A *上的测度。 整个引理的证明完毕。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,19,3、测度扩张定理,问题： A *是否是包含A的-代数？, *是A *上的测度, *不降，满足次可加性,？,对任意A F，定义,
7、2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,20,3、测度扩张定理,若A *是包含A的-代数，则 *便是定义在A上的测度在A *上的一个扩张；进一步地，这样的扩张唯一吗？为了保证唯一性，不必将 扩张到A *上，而只需扩张到(A)即可。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,21,定理1.2.4 设是的集代数A上的测度，则在(A) 上存在一个扩张；如果在A上是-有限的，则在(A) 上的扩张是唯一的。,证明：显然第一部分只需证： A A *,A A ， D， 0，存在A 中集序列An，n=1,2,使得,这是因为若A A *，则(A ) A * , *是A *上的测度，则是(A )上的测度
8、，且对 于是 *是 在(A ) 上的扩张。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,22,由*是A上的测度，且,由的任意性，则有：,即：AA *，则A A *,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,23,(1)首先证明：若1，2是在(A)上的任意两个扩张，证明对A (A)及任意的正整数n，有： 1(ADn)=2 (ADn) （1.2.8）,第二部分：唯一性 A是集代数， 是A上的-有限测度，则存在：,(2)再证明对A (A)，有1(A)=2 (A),2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,24,(1)对给定的n，令： =A：A (A)， 1(ADn)=2 (ADn) 下证：
9、 = (A) 显然A ，且 (A)。 （ A A ，因A 为集代数，则： ADn A， 必有： (ADn)= 1(ADn)=2 (ADn)，则A ） 若能证明为单调类，则(A) 另： A为集代数，则： (A)= (A) 所以： (A) ，即： = (A)，结论得证。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,25,下面证明为单调类：,Ak ，Ak ，则： 1(Ak Dn)=2 (Ak Dn)2 (Dn)=(Dn)+，k=1,2, 根据测度的连续性，有：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,26,(2):,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,27,三、测度的完全化 初等概
10、率中我们遇到这样的问题：考虑某一集合BA A ，且P(A)=0，但B未必属于A ，即B未必是事件，未必有概率。即零测集的子集未必有概率。为了克服这个问题，必须将A上的测度完全化。,定义1.2.4 设是-代数F(或集代数A )上的测度,如果AA， (A)=0，B A，则B F (或 A)，因而必有(B)=0 ，则称为F (或A )上的完全测度。 以下介绍如何将-代数F上的测度完全化？,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,28,定理1.2.5（测度的完全化）设是-代数F上的测度，记：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,29,主要证明思路：,具体证明过程略,2019/7/16,
11、北京邮电大学电子工程学院,30,有：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,31,测度的完全化,测度完全化的好处在于：假设某个依赖于w的性质在某个零测集N之外成立，则使此性质不成立的w的集就是N的一个子集，一般来说，它不一定属于F，但它属于 ，且它的 测度为零。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,32,第三节 L-S测度和L测度,作为测度的重要特列，本节给出了Lebesque-Stieltjes测度（简称 L-S测度）的构造方法，其特殊情况就是L测度。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,33,(-,a B (1) (a,b B (1) (a,b) B (1) b
12、 B (1) a,b B (1),一维Borel域 设=R(1) ，考虑由R(1)的一些子集组成的集合类：,G= (-,a,a R(1) ，称(G)为R(1)的Borel域，记为B(1) ，并称B (1)中的元素为一维的Borel集。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,34,推广情形：设 为n维实数空间，考虑由 的一些子集组成的集合类：,称(G)为 上的Borel域，记作B (n)。,G,n维Borel域,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,35,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,35,第三节 L-S测度和L测度,一、 n维L-S测度,当bi=+时，将(ai,
13、bi改为(ai, +)。于是(A)= (G)= B (n)。,令,要说明(A)= (G)= B (n)，分为两部分：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,36,如果某个bj=+,上式中改为ajxjbj，于是,为表达方便，,下面介绍利用广义分布函数来构造A上的L-S测度。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,37,注意：分布函数一定是广义分布函数。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,38,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,38,第三节 L-S测度和L测度,一、 n维L-S测度,利用n维广义分布函数F(x1 , x2 , xn)，得到： A上的测度F 利
14、用测度扩张定理可以唯一确定一个B (n)上的测度 利用测度完全化定理，可以唯一确定一个完全化的测度，这就是著名的kolmogorov定理。 类似地也可利用分布函数构造： B (T)上的测度,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,39,可以证明：对于n元广义分布函数F(x1,x2,xn)，在B (n)上存在唯一的测度F，满足： F(a,b)=(a,b F，其中a,b R(n) 下面简单地阐述构造的步骤和方法： 若a, b R(n) ，(a,bA，则定义F(a,b)=(a,b F,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,40,A上的每个集合可表为互不相交的(a,b的有限并，即：,由前
15、面两步在A上定义的测度是-有限的，由扩张定理，可以将F唯一地扩张到(A) = B (n)上，且使得： F(a,b)=(a,b F，其中a,b R(n),2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,41,将B (n)上的测度F完全化，记B (n)关于F的完全化的-代数为B (n)F ，定义在B (n)F 上的完全化测度仍记为F 。 综上所述，称这样定义的测度F为由广义分布函数F产生的Lebesque-Stieltjes测度（简称L-S测度）。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,42,L-S测度的特殊情况是L测度，此时： F(x1,x2,xn)= x1x2xn 当n=1， L测度即为区域(a,b的长度 当n=2， L测度即为区域(a,b的面积 当n=3， L测度即为区域(a,b的体积 此时： (a,bF=b1b2b3-a1b2b3-b1a2b3-b1b2a3 +a1a2b3+a1b2a3+b1a2a3 -a1a2a3 =(b3-a3
