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1、第四章 控制系统的传递函数,1. 传递函数的概念,传递函数是在拉氏变换的基础上建立起来的一种数学模型，是经典控制论中对线性系统进行研究、分析与综合的重要数学工具。,因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应的拉氏变换。,定义：初始条件为零时，系统的输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。,即 ，,特别地，当xi(t)=(t)，亦即Xi(s)=1时，G(s)=Xo(s),2. 传递函数的性质, 传递函数是系统本身的固有特性，与输入量的大小及性质无关； 传递函数以简明的数学形式表达了系统的动态模型组成，只要动态性能相似，就可以用相似的传递函数； 传递函数可以有量纲，也可以无量纲
2、； 传递函数是s的有理分式；,一般地,传递函数的表达式为,3. 典型环节传递函数, 比例环节,系统总是由各种元件组成，不管这些元件的属性如何，只要其动态性能相似，就可以用相同的传递函数来表达。如果把系统的元件按其运动方程的形式来分类，就得到各种不同的动态环节。,这样，就可以把一个复杂的系统分解为由简单的环节组成，从而方便地建立整个系统的数学模型。,凡输出量xo(t)与输入量xi(t)成比例，不失真也不延时的环节，又称P调节器。,比例环节运动方程为 xo(t)=kxi(t)，所以比例环节传递函数为,k为比例环节的增益或称为放大系数,例1,解,求一对齿轮传动的传递函数,最基本的运算放大器,z1,z
3、2,ni(t),no(t),G(s)=k,例2,i1=i2,k 运算放大器的闭环增益, 微分环节,例3,求图示微分电路的G(s),解,凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一阶导数成比例的环节，又称为D调节器。,运动方程为,因此传递函数为：,微分环节不能单独存在。,G(s)=TS, 积分环节,凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一次积分成比例的环节，又称为I调节器。,运动方程为,因此传递函数为：,例4,右图为一齿轮齿条传动机构。n(t)为输入转速， xo(t)为线位移。求该传动机构的传递函数。,解：,根据传动关系有,但如以vo(t)表示齿条的移动速度，则,G(s)=T/S,1、电阻元件,U(
4、s)=RI(s) ZR=R,2、电感元件,u(t)=Ri(t),3.电容元件,ZC(s) = 1/sC,ZL=Ls,例5,下图是一个由运算放大器组成的积分器，求G(s)。,解：,取拉氏变换, 惯性环节,凡能用一阶线性微分方程来描述的环节，又称为一阶环节。,运动方程为,因此传递函数为：,K惯性环节的增益；T惯性环节的时间常数,例6,求右图电路的G(s)。,解：,如果Rcs 1，则G(s)=1/Rcs=1/Ts,例7,下图是运算放大器组成的惯性环节，求该环节的K和T。,解：,Z=R2Zc=R21/cs = R2 / (R2cs+1), 二阶环节和振荡环节,凡能用二阶线性微分方程来描述的环节都称为二
5、阶环节。,运动方程为,两边取拉氏变换得,环节的固有频率,环节的阻尼比,其中，,如果01，二阶环节称为振荡环节,例7,图示是由质量m、阻尼c、弹簧k组成的动力系统.,求G(s),依动力平衡原理有,上例中，如果输入量为外力f (t),则系统的固有频率和阻尼系数为多少, 延时环节,凡输出量滞后于输入量一个时间，但不失真地反映输入量的环节。,运动方程为,xo (t) = xi (t-),注意延时环节和惯性环节的区别, 比例环节,xo(t)=kxi(t), 微分环节,G(s)=TS, 积分环节,G(s)=T/S, 惯性环节, 二阶环节和振荡环节,xo (t) = xi (t-), 延时环节,小节,求右图
6、油缸-阻尼-弹簧系统的传递函数.其中，p为输入，xo为输出。,解,求下图的传递函数,ZL=Ls,Z=R/1/cs,1. 复合环节概念,单一典型环节组合,2. 复合环节传递函数,复合环节，如PI调节器、PD调节器, PD调节器,G(s)=Ts+K,T时间常数，K比例系数,根据传递函数判断是何种调节器，并求出相应的参数。,例1,下图是由放大电路组成的PD调节器，求G(s),解,例2,例3,解,比例积分环节组成的调节器。, PI 调节器,T时间常数，K比例系数,下图是由放大电路组成的PI调节器，求G(s),一般来说，采用调节器的控制系统，既能获得较高的静态精度，又具有较快的动态响应。,Zm=(R1+
7、1/cs)R2,请先行练习,比例、积分、微分环节组成的调节器。, PI D调节器,例4,下图是由放大电路组成的PID调节器，求G(s),PID控制的重要性,比例-积分-微分控制规律是工业上最常用的控制规律。人们一般根据比例-积分-微分的英文缩写，将其简称为PID控制。即使在更为先进的控制规律广泛应用的今天，各种形式的PID控制仍然在所有控制回路中占85%以上。,1. 传递函数框图的概念,系统的动态结构图，即用来表达环节及其传递函数的方块图。下图表示一个框图单元。目的是为了说明一个环节在系统中的作用。,2. 绘制框图的要点,方框内只允许填写传递函数G(s)；框图中的全部变量 都是取了拉氏变换后的
8、变量，要求大写；变量一般置于箭头的上方，箭头的指向表示信号的流向；框图的联接是按信号流向进行的，有串联、并联和反馈联接三种。,G(s),Xi(s),Xo(s),3. 框图的联接,串联,设,X1(s)=Xi(s)G1(s), Xo(s)=X1(s) G2(s),则用框图表示如下,G1(s),Xi(s),Xo(s),G2(s),X1(s),对于串联的传递函数,Xo(s)=X1(s) G2(s) = G1(s) G2(s) Xi(s),G(s)= G1(s) G2(s),如一个系统由n各环节串联而成，则系统的传递函数为,并联,设,X1(s)=Xi(s)G1(s), X2(s)=Xi(s)G2(s),
9、 Xo(s)=X1(s) X2(s),则用框图表示如下,Xo(s) = X1(s) X2(s) = Xi(s)G1(s) Xi(s)G2(s) = G1(s) G2(s) Xi(s),对于并联的传递函数,G(s)= G1(s) G2(s),G1(s),Xi(s),Xo(s),G2(s),X1(s),X2(s),如一个系统由n各环节并联而成，则系统的传递函数为各环节传递函数的代数和。若把并联处都看成相加，则,反馈联接,反馈联接框图如下图所示,E(s) = Xi(s) B(s)Xo(s)= G(s) E(s)B(s)= H(s) Xo(s),由图可知,所以对于该闭环系统，传递函数为：,“-”表示正
10、反馈，“+”表示负反馈,控制系统中主要采用负反馈，则,G(s),Xi(s),Xo(s),H(s),E(s),+,B(s),A,单位负反馈,G(s),Xi(s),Xo(s),H(s),E(s),+,B(s),如果在点处将反馈回路切断，则得到以E(s)为输入，B(s)为输出的传递函数Gk(s)，称之为闭环系统的开环传递函数。,Gk(s) = H(s)G(s),Gb(s),Xi(s),Xo(s),A,4. 框图的变换与化简,框图的变换,分支点移动规则,G(s),X1(s),X2(s),X3(s),G(s),G(s),X1(s),X2(s),X3(s),相加点移动规则,G(s),X1(s),X2(s)
11、,X3(s),+,G(s),X1(s),X2(s),X3(s),+,G(s),G(s),X1(s),X2(s),X3(s),+,G(s),X1(s),X2(s),X3(s),+,作上述变换后，原来的输入和输出都不变，变换前后的系统框图应等效。,框图的化简,规则,为了计算和研究方便，常要把框图化简。,框图化简，主要是依据基本的串联、并联和反馈联接进行。但若有回路交叉，必须先进行移位，消除交叉。,框图的化简与中间变量无关当有多个输入量的线性系统时，可按叠加原理进行化简当进行相加点移位时，必须保证各分支点处原来的信号值不变当进行分支点移位时，必须保证各相加点处原来的反馈信号值不变,例1,G1,G2,
12、G3,H2,H1,Xi(s),Xo(s),+,-,+,+,+,-,化简框图，求Gb(s),G1,G2,G3,H1,Xi(s),Xo(s),+,-,+,+,+,-,G1 G2,G3,H1,Xi(s),Xo(s),+,-,+,+,+,-,G3,Xi(s),Xo(s),+,-,+,-,Xi(s),Xo(s),+,-,+,-,+,-,Xi(s),G1,G2,G3,G4,H,Xi(s),Xo(s),+,-,例,求Gb(s),例 用框图来表示车削加工过程动力系统,u = uo - x,f = Kcu+Bcu,mx + cx + kx = f,U(s)=Uo(s)-X(s),F(s)=(Kc+Bcs)U(s),ms2X(s)+csX(s)+kX(s)=F(s),X(s)=F(s)/( ms2+cs+k),
