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1、1, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,1、主振型的正交性 设结构体系具有n个自由度，对于第s和第t个固有模态，由方程:,得:,2, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,3,另一个正交关系式：,振型的正交关系式（orthogonality relation）,相对于质量矩阵 M来说，不同频率相应的主振型是彼此正交的。,主振型第一正交条件, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,两个正交关系式是建立在st 基础的。,相对于刚度矩阵 K来说，不同频率相应的主振型是彼此正交的。,主振型第二正交条件,4,Ms和Ks分别称为第s个主振型相应的广义质量 (generalized mass)和广义刚度(gener
2、alized stiffness）,对于s=t的情形，令:, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,每个主振型都有相应的广义质量 和广义刚度。,5, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,可以利用广义质量Ms和广义刚度Ks计算多自由度体系的第s个自由振频率 。,由广义刚度和广义质量求频率的公式。是单自由度体系频率公式的推广。,6,例：图示体系的刚度矩阵K和质量矩阵M为：,解：（1）演算第一正交性。,三个主振型分别如下，演算正交性。, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,7,（2）演算第二正交性。,同理：,同理：, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,8,对任意一个位移向量y ，将其写成主振型的线性组合：,
3、将 左乘方程的两边:, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,可将任一位移按主振型展开。,由主振型的正交性：,9,主振型正交的物理意义：,1）每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，其数学表达式为 ：, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,10,3）各个主振型都能够单独出现，彼此间线性无关。,主振型正交的物理意义：,2）当一体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的振动。, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,1）每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，其数学表达式为 ：,11,2、重根时的正交性问题, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,设频率方程具有一个二重根，即两个主振型 和 对应的固
4、有频率彼此相等，记为 ，而其他频率都彼此不同。,（a）,（b）,是一个与频率 对应的主振型向量。,12,取一个由 和 组成的新的主振型，即, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,如果两个主振型 和 彼此不正交，即,和 就是两个彼此正交的主振型。,13,由于 与其余 不相等，与 对应的任意一个主振型 都与其余频率的主振型 (i=3,4, ,n) 彼此正交。, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,在具有n个自由度的体系中，即使在频率方程中出现两重根，仍然可以选到n个主振型，使它们彼此正交。,n个自由度的体系一定有n个彼此正交的主振型。,14,对于n个自由度体系，将n个彼此无关的主振型向量组成一个方阵：
5、,3、主振型矩阵和正则坐标,称为主振型矩阵（modal matrix）。, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,15,利用主振型矩阵和主振型的正交性，可以得到:, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,16,为广义刚度，对角矩阵 称为广义刚度矩阵。,对角矩阵 称为广义质量矩阵。, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,矩阵 中的非对角元素全为零，对角线的元素就是广义质量,17,n 个自由度体系的振动方程：,质量矩阵M和刚度矩阵K都是对角矩阵，,方程组就是n个独立的方程，每个方程只有一个未知量。,相当于求解n个单自由度体系的振动问题。, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,质量矩阵M和刚度矩阵K不是对角矩阵
6、。方程是一个耦合方程。,18,设一个坐标变换：, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,为主振型矩阵； 为质点位移向量，称为几何坐标； 称为正则坐标(normalized coordinate)向量。,将坐标变换式代入振动方程，并左乘 ，得,19,利用广义质量矩阵和广义刚度矩阵的定义，有,利用正则变换，可以把一个n元联立方程组简化为n个独立的一元方程，将一个具有n个自由度的结构体系的耦合振动问题简化为n个独立的单自由度体系的振动问题，计算工作大为简化。,解耦条件：（1）线性结构（2）M、K具有正交性, 3.3 主振型的正交性和正则坐标,20,1、柔度法（忽略阻尼） 因为在简谐荷载作用下，荷载频率在
7、共振区之外，阻尼影响很小；在共振区之内时，阻尼虽对振幅影响很大，但都能反映共振现象。,（2）动位移的解答及讨论通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动，由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动。,（1）建立振动微分方程,各简谐荷载频率相同相位相同，否则用其他方法, 3.4 两个自由度体系的强迫振动,21,n个自由度体系，存在n个可能的共振点,设纯强迫振动解答为：,代入：,22,（3）动内力幅值的计算,荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为
8、动内力幅值。或用叠加公式求：,由Y1 ，Y2值可求得位移和惯性力。,惯性力的幅值为：,代入位移幅值方程,可得求惯性力幅值的方程（直接求惯性力幅值）,23,例：图示简支梁EI=常数,=0.751求动位移幅值和动弯矩幅值。,解：1)求柔度系数,2)作MP图，求1P 2P,24,5)计算动内力,1.4119P,0.2689P,0.8740P,Qd 图,0.3530Pl,0.2180Pl,Md 图,6)比较动力系数,因此，多自由度体系没有统一的动力系数。,25,2、刚度法,在平稳阶段,各质点也作简谐振动:,Y1=D1/D0,Y2=D2/D0,求得位移幅值Y1、Y2 ,计算惯性力幅值I1=m12Y1 I
9、2=m22Y2 。将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上，按静力计算方法求得动内力幅值。,26,求图示刚架楼面处的侧移幅值，惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值。,解：1）求刚度系数,2)求位移幅值,27,3)求惯性力幅值,位移幅值,0.9P,0.9P,A,28,例:,质量集中在楼层上m1、m2 ，,层间侧移刚度为k1、k2,解：荷载幅值：P1=P，P2=0 ，求刚度系数：,k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2,当m1=m2=m,k1=k2=k,29,两个质点的位移动力系数不同。,当,趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。也有例外情况。,30,如图
10、示对称结构在对称荷载作用下。,与2相应的振型是,=1,当=2 ，D0=0 ，也有：,不会趋于无穷大，不发生共振，共振区只有一个。,对称体系在对称荷载作用下时， 只有当荷载频率与对称主振型的自 振频率相等时才发生共振；当荷载 频率与反对称主振型的自振频率相 等时不会发生共振。同理可知：对 称体系在反对称荷载作用下时，只 有当荷载频率与反对称主振型的自 振频率相等时才发生共振。,31,yst1,yst2=P/k,荷载幅值产生的静位移和静内力,yst1= yst2=P/k,层间剪力: Qst1= P,动荷载产生的位移幅值和内力幅值,由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。,层间动剪力:,
11、32,这说明在图a结构上，,适当加以m2、k2系统,可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。,吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。,a图,33,例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm),解：1）,频率比在共振区之内应设置吸振器。,2）,34,多自由度体系，无阻尼强迫振动微分方程为:, 3.5 多自由度体系的强迫振动,1、无阻尼情形,设正则变换:,左乘第i阶模态的主振型向量的转置 :,35,广义质量Mi、广义刚度Ki和广
12、义荷载Pi(t),由主振型的正交性可知:, 3.5 多自由度体系的强迫振动,36,对于结构的每一个主振型，可以用上述方法求得一个独立的单自由度方程。,采用正则坐标变换将质量和刚度矩阵中有非对角项耦合的n个联立方程组转换成n个独立的正则坐标方程。, 3.5 多自由度体系的强迫振动,37,振型叠加法:确定结构体系动力响应： 1、求解每一个正则坐标的响应， 2、按 式叠加。 得到用原始坐标表示的响应，这种方法称为振型叠加法（modal analysis）, 3.5 多自由度体系的强迫振动,38,方程的全解为：,只有物理坐标 的初始条件。,进行适当的数学处理。,一般初始条件：, 3.5 多自由度体系的
13、强迫振动,需要正则坐标的初始值 和 。,39,两边左乘, 3.5 多自由度体系的强迫振动,40,n个自由度体系，在粘滞阻尼的影响下，振动微分方程为:,2、有阻尼情形, 3.5 多自由度体系的强迫振动,Cij 表示质量点i单位速度在点j所产生的阻尼力，称为阻尼影响系数。,41,设正则变换:,左乘, 3.5 多自由度体系的强迫振动,42,Mi、Ki、和Pi(t) 分别为广义质量 、广义刚度和广义荷载.,由主振型的正交性条件可知：,假定对阻尼矩阵C，正交性条件也满足，即, 3.5 多自由度体系的强迫振动,43,假设阻尼矩阵C是质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合，即:,称为广义阻尼，其表达式为, 3.5 多自由度体系的强迫振动,a和b两个常数， 这种阻尼形式称为瑞利阻尼(Rayleigh damping)或比例阻尼(proportional damping)。,44,引入正则坐标变换后，阻尼矩阵C也变成一个对角矩阵 ：, 3.5 多自由度体系的强迫振动,两边同除以Mi :,一般根据实测资料来确定常数 a和b。,45, 3.5 多自由度体系的强迫振动,已知 和 ，以及实测得到的阻尼比 和 则有:,46,在零初始条件下，振动方程,正则坐标响应为:, 3.5 多自由度体系的强迫振动,利用正则坐标变换即可得质点位移响应 。,
