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1、数据结构、算法与应用 C+描述,史玉良 ,堆(Heaps) 左高树(Leftist Trees),Chapter9 Priority Queues,Focus,与FIFO结构的队列不同，优先队列中元素出队列的顺序由元素的优先级决定。从优先队列中删除元素是根据优先权高或低的次序，而不是元素进入队列的次序。 例-CPU调度,优先队列,优先队列是0个或多个元素的集合，每个元素都有一个优先权或值。 对优先队列执行的操作有： 查找 插入一个新元素 删除,优先队列,描述最大优先队列最简单的方法是采用无序线性表。 假设有一个具有n个元素的优先队列，插入操作可以十分容易地在表的右端末尾执行，插入所需时间为(1
2、)。删除操作时必须查找优先权最大的元素，即在未排序的n个元素中查找具有最大优先权的元素，所以删除操作所需时间为(n)。,优先队列的线性表描述,如果利用链表，插入操作在链头执行，时间为(1)，而每个删除操作所需时间为(n)。,优先队列的线性表描述,另一种描述方法是采用有序线性表，当使用公式化描述时元素按递增次序排列，使用链表时则按递减次序排列，这两种描述方法的删除时间均为(1)，插入操作所需时间为(n)。,优先队列的线性表描述,定义：每个节点的值都大于或等于其子节点（如果有的话）值的树。,最大树,最大树,定义：每个节点的值都小于或等于其子节点（如果有的话）值的树。,最小树,最小树,定义：最大（最
3、小）的完全二叉树。,最大堆(最小堆),最大堆的插入,插入时间复杂性,插入策略从叶到根只有单一路径，每一层的工作需耗时(1)，因此实现此策略的时间复杂性为O(height)=O(log2n)。,最大堆的删除,最大堆的删除,删除时间复杂性,删除策略产生了一条从堆的根节点到叶节点的单一路径，每层工作需耗时(1)，因此实现此策略的时间复杂性为O(height)=O(log2n)。,开始时堆中已经含有n(n0) 个元素。可以通过在初始为空的堆中执行n次插入操作来构建非空的堆，插入操作所需总时间为O(nlogn) 。,最大堆的初始化,更快的堆的初始化策略？,思考,从第一个具有孩子的节点开始，这个元素在数组
4、中的位置为i=n/2，如果以这个元素为根的子树已是最大堆，则此时不需调整，否则必须调整子树使之成为堆。 随后，继续检查以i-1,i-2等节点为根的子树，直到检查到整个二叉树的根节点（其位置为1）。,思想,最大堆的初始化,最大堆的初始化,类MaxHeap,template class MaxHeap public : MaxHeap(int MaxHeapSize = 10); MaxHeap() delete heap; int Size() const return CurrentSize; T Max() if (CurrentSize = 0) throw OutOfBounds();
5、return heap1; MaxHeap,最大堆的插入,template MaxHeap ,最大堆的删除,template MaxHeap/i的孩子,最大堆的删除,while (ci=heapci) break; /能 /不能 heapi=heapci; i=ci; ci*=2; heapi=y; return *this; ,一棵二叉树，它有一类特殊的节点叫做外部节点(external node)，用来代替树中的空子树，其余节点叫做内部节点(internal node)。 增加了外部节点的二叉树被称为扩充二叉树(extended binary tree)。,扩充二叉树,堆结构是一种隐式数据
6、结构，用完全二叉树表示的堆在数组中是隐式存贮的。由于没有存贮结构信息，这种描述方法空间利用率很高。 尽管堆结构的时间和空间效率都很高，但它不适合于所有优先队列的应用，尤其是当需要合并两个优先队列或多个长度不同的队列时。因此需要借助于其他数据结构来实现这类应用，左高树就能满足这种要求。,Leftist Trees(左高树),扩充二叉树,令s(x)为从节点x到它的子树的外部节点的所有路径中最短的一条，根据s(x)的定义可知，若x是外部节点，则s的值为0，若x为内部节点，则它的s值是： mins(L),s(R) + 1 其中L与R分别为x 的左右孩子。,s,扩充二叉树的s和w,定义：当且仅当一棵二叉
7、树的任何一个内部节点，其左孩子的 s 值大于等于右孩子的 s 值时，该二叉树为高度优先左高树（height-biased leftist tree, HBLT）。,高度优先左高树,定理9-1 令x为一个HBLT的内部节点，则 以x为根的子树的节点数目至少为2s(x)-1。 若子树x有m个节点，s(x)最多为log2(m+1)。 通过最右路径（即，此路径是从x 开始沿右孩子移动）从x到达外部节点的路径长度为s(x)。,高度优先左高树-性质,最大HBLT 即同时又是最大树的HBLT； 最小HBLT 即同时又是最小树的HBLT。,最大HBLT/最小HBLT,插入 删除 合并 初始化,最大HBLT的操
8、作,最大HBLT的插入操作可借助于最大HBLT的合并操作来完成。 假设将元素x插入到名为H的最大HBLT中，如果建造一棵仅有一个元素x的最大HBLT然后将它与H进行合并，结果得到的最大HBLT将包括H中的全部元素及元素x。因此插入操作只需先建立一棵仅包含欲插入元素的HBLT，然后将它与原来的HBLT合并即可。,最大HBLT的插入,根是最大元素，如果根被删除，将留下分别以其左右孩子为根的两棵HBLT的子树。将这两棵最大HBLT合并到一起，便得到包含除删除元素外所有元素的最大HBLT。 所以删除操作可以通过删除根元素并对两个子树进行合并来实现。,最大HBLT的删除,具有n个元素的最大HBLT，其最
9、右路径的长度为O(logn)。合并操作仅需遍历欲合并的HBLT的最右路径。由于在两条最右路径的每个节点上只需耗时O(1)，因此将两棵HBLT进行合并具有对数复杂性。 通过以上观察，在合并算法中，仅需移动右孩子。,合并两棵最大HBLT,合并策略最好用递归来实现。 令A、B为需要合并的两棵最大HBLT，如果其中一个为空，则将另一个作为合并的结果，因此可以假设两者均不为空。 为实现合并，先比较两个根元素，较大者作为合并后的HBLT的根。假定A具有较大的根，且其左子树为L，C是由A的右子树与B合并而成的HBLT。A与B合并所得结果即是以A的根为根，L与C为左右子树的最大HBLT。如果L的s值小于C的s
10、值，则C为左子树，否则L为左子树。,合并两棵最大HBLT,最大HBLT的合并,最大HBLT的合并,通过将n个元素插入到最初为空的最大HBLT中来对其进行初始化，所需时间为O(nlogn)。 更快的方法？,初始化最大HBLT,为得到具有线性时间的初始化算法，首先创建n个最大HBLT，每个树中仅包含n个元素中的某一个，这n棵树排成一个FIFO队列，然后从队列中依次删除两个HBLT，将其合并，然后再加入队列末尾，直到最后只有一棵HBLT。,初始化最大HBLT,构造五个元素：7,1,9,11,2的一棵最大HBLT。 首先构造五个单元素的最大HBLT，并形成一个FIFO队列。,例,template vo
11、id MaxHBLT:Meld(HBLTNode* ,合并两棵左高树,template MaxHBLT ,从最大HBLT中删除最大元素,template void MaxHBLT:Initialize(T a, int n) /初始化有n个元素的HBLT树 Queue * Q(n); Free(root);/删除老节点 /对树的队列进行初始化 for (int i=1;i *q=new HBLTNode (ai,1); Q.Add(q); HBLTNode *b,*c; for (i=1;i=n-1;i+) Q.Delete(b).Delete(c); Meld(b,c); Q.Add(b);
12、 if (n) Q.Delete(root); ,最大HBLT的初始化,堆排序(Heap Sort) 机器调度(Machine Scheduling) 霍夫曼编码(Huffman Codes),应用,先将要排序的n 个元素初始化为一个最大堆，然后每次从堆中提取（即删除）元素。各元素将按递减次序排列。 初始化所需要的时间为(n)，每次删除所需要的时间为O(logn) ，因此总时间为O(nlogn) 。,堆排序,template void HeapSort(T a, int n) / 利用堆排序算法对a1:n 进行排序 / 创建一个最大堆 MaxHeap H(1); H.Initialize(a,
13、n,n) ; / 从最大堆中逐个抽取元素 T x; for (int i = n-1; i = 1; i-) H.DeleteMax(x) ; ai+1 = x; / 在堆的析构函数中保存数组a H.Deactivate(x) ; ,堆排序算法实现,堆排序,假设文本是由a,u,x,z组成的字符串，若这个字符串的长度为1000，每个字符用一个字节来存贮，共需1000个字节（即8000位）的空间。如果每个字符用2位二进制来编码（00=a,01=x,10=u,11=z），则用2000位二进制即可表示1000个字符。 字符串aaxuaxz的压缩编码为二进制串0000011000011。,例-压缩,此外
14、，还需要一定的空间来存放编码表，可采用如下格式来存储： 符号个数,代码1,符号1,代码2,符号2, 符号个数及每个符号分别用8位二进制来表示，每个代码需占用log2(符号个数)位二进制。因此，代码表需占用5*8+4*2=48位，压缩比为8000/2048=3.9。,例,字符串aaxuaxz的压缩编码为二进制串00000110000111，每个字符的编码具有相同的位数（两位）。 从左到右依次从位串中取出2位，通过查编码表便可获得原字符串。,例-解压,一个字符出现的次数称为频率（frequency） 在字符串aaxuaxz中，a出现了三次。 a,x,u,z，在这个字符串中出现的频率分别为3，2，1
15、，1。,频率,采用可变长编码。 使用编码(0=a,10=x,110=u,111=z) 。如果四个字符的出现频率分别为(996,2,1,1)，则每个字符用2位编码所得到编码的长度为2000位，而用可变长编码则仅为1006位。,方案,可变长编码:没有任何一个代码是另一代码的前缀。 因此，当从左到右检查代码时，可以很确定地得到与实际代码相匹配的字符。,解码依据,可以利用扩充二叉树来派生一个实现可变长编码的特殊类，该类满足上述前缀性质，被称为霍夫曼编码。,霍夫曼编码,在扩充二叉树中，可对从根到外部节点的路径进行编码，方法是向左孩子移动时取0，向右孩子移动时取1。,霍夫曼编码,到节点(a,b,c,d,e
16、,f)的路径编码分别为(00，010，011，100，101，11),霍夫曼编码,对于一棵具有外部节点1， n 的扩充二叉树，对应的压缩编码串的长度为： 其中L(i) 为从根到达外部节点i 的路径长度（即路径的边数）；F(i)为外部节点i 的权值(压缩中字符的频率)；WEP为二叉树的加权外部路径长度（weighted external path length）。,加权外部路径长度,若二叉树对于给定的频率具有最小加权外部路径长度，则这棵树被称为霍夫曼树（Huffman tree）。 Huffman于1952年提出。,霍夫曼树,获得不同字符的频率。 建立具有最小加权外部路径的二叉树（即霍夫曼树），树的外部节点用字符串中的字符表示，外部节点的权重(weight)即为该字符的频率。 遍历从根到外部节点的路径得到每个字符的编码。 用字符的编码来代替字符串中的字符。,利用霍夫曼编码进行压缩
