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1、余姚中学2018学年度第二学期高二数学期中试卷一 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1.已知函数则的值为( D )A-20 B-10 C10 D202复数z=1i，则对应的点所在象限为（D）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90”时，首先要作出的假设是（C）A四个内角都大于90B四个内角中有一个大于90C四个内角都小于90D四个内角中有一个小于904设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中含项的系数为（D）A. 40 B. 30 C.20 D. 15
2、5某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( C ) A. B. C. D. 6已知随机变量的分布列为1234P则D的值为(C)A. B C. D7. 某高中举办“情系母校”活动，学校安排6名大学生到高一年级A，B，C三个班级参加活动，每个班级安排两名同学，若甲同学必须到A班级，乙和丙同学均不能到C班级，则不同的安排方法种数为（B）A12 B9 C6 D58.已知可导函数满足，则当时，大小关系为 （ B ）
3、A. B. C. D.9某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人来源:学。科。网参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为( C)A360 B520 C600 D72010.定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ B ）（A）12个 （B）14个 （C）16个 （D）18个二填空题: 本大题共7小题, 多空每空3分，单空每题4分, 共36分把答案填在答题卷的相应位置11. 已知复数（为虚数单位），则的模是 ；复数的虚部是 1
4、2.若函数在处的切线与直线平行，则实数_；当时，若方程有且只有一个实根，则实数的取值范围为_.13.若将函数表示为，其中，则 ； . 0，1024（或）14.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排), 现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为 ；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为 .（用数字作答）480，72015计算Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn，可以采用以下方法：构造等式：Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn=（1+x）n，两边对x求导，得Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+
5、nCnnxn1=n（1+x）n1，在上式中令x=1，得Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn=n2n1类比上述计算方法，计算Cn1+22Cn2+32Cn3+n2Cnn=n（n+1）2n216.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有630 种（用数字作答）17关于二项式(x1)2005有下列命题：该二项展开式中非常数项的系数和是1；该二项展开式中第六项为x1999；该二项展开式中系数最大的项是第1002项；当x=2006时，(x1)2005除以2006的余数是2005。其中正确命题的序号是 1，4
6、。（注：把你认为正确的命题序号都填上）二 解答题: 本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个.求：（1）连续取两次都是红球的概率；（2）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望.【解析】（1）连续取两次都是红球的概率.（2） 的可能取值为1,2,3,4，.的概率分布列为 1234P .19（本小题满分15分）已知数列an的前n项和为Sn，a2=14，且an=（+）Sn2n1（nN*）（1）求，；（2）由（1）猜
7、想数列的通项公式，并用数学归纳法证明解：（1）an=（+）Sn2n1（nN*），可得n=1时，a1=S1=（+1）S11，解得S1=2，即有=1；n=2时，a2=S2S1=（+）S22=14，解得S2=16， =4；n=3时，a3=S3S2=（+）S322，解得S3=72， =9；（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为=n2（nN*）下面运用数学归纳法证明当n=1时，由（1）可得=1成立；假设n=k（kN*），=k2成立，当n=k+1时，ak+1=Sk+1Sk=（+）Sk+12k+11，即有（）Sk+1=Sk2k=2kk22k=（k21）2k，则Sk+1=（k+1）（k1）2k，当k=1时，上
8、式显然成立；当k1时，Sk+1=2（k+1）22k=（k+1）22k+1即=（k+1）2，则当n=k+1时，结论也成立由可得对一切nN*， =n2成立20. （本小题满分15分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)求展开式中所有的有理项；(2)求展开式中系数最大的项；（1） ，（2） 21.（本小题满分15分）已知函数 ，其中 (1)若函数 在 处取得极大值，求实数 的值(2)函数 ，当 时， 在 处取得最大值，求实数 的取值范围 , 22（本小题满分15分）已知函数且函数图象上点处的切线斜率为0.（1）试用含有的式子表示函数 ，并讨论的单调性；(2)对于函数图象上的不同两点，如果
9、在函数图象上存在点使得点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.解：函数的定义域为，且，又，整理得. （1）.1）当时，易知， 时，故在上单调递增，在上单调递减.2）当地，令，解得或，则当，即时， 在上恒成立，则在上递增.当，即时，当时， ；当时， .所以： 在及上单调递增： 在上递减.当，即时，当时， ；当时， .（2）满足条件的不存在，理由如下:假设满足条件的存在，不妨设且，则，又，又由题有： ，整理可得：，令，构造函数，则，则时，恒成立，故在上单调递增；所以时， ，所以不可能成立，综上满足条件的不存在.，- 11 -
