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1、2018-2019学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷一、填空题（32分）本大题共有8题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律不得分1（4分）弧长等于直径的圆弧所对的圆心角的大小为 弧度（只写正值）2（4分）化简： 3（4分）若tan2，则 4（4分）若，则sin2 5（4分）若tan3，则cos2 6（4分）某船在A处看到灯塔S在北偏西40方向，它向正北方向航行50海里到达B处，看到灯塔S在北偏西76方向，则此时船到灯塔S的距离为 海里7（4分）类比反正切函数的定义，我们将函数ycotx，x（0，）的反函数定义为反余切函数，记为：yarccotx，xR，则
2、 8（4分）某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数前一排多两个座位，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有座位 个二、选择题（12分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序的正确结论代号涂黑，选对得4分，否则一律得零分9（4分）“ABC三个内角的度数可以构成等差数列”是“ABC中有一个内角为60”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10（4分）关于x的三角方程在0，2）的解集为（）ABCD11（4分）在ABC中，a2+b2+c22bccosA+2accosB，则ABC一定是（）A锐角三角形B
3、钝角三角形C等边三角形D直角三角形三、解答题（本题满分56分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤12（14分）（1）请直接运用任意角的三角比定义证明：cos（）cos；（2）求证：13（14分）设函数（1）请指出函数yf（x）的定义域、周期性和奇偶性；（不必证明）（2）请以正弦函数ysinx的性质为依据，并运用函数的单调性定义证明：yf（x）在区间上单调递减14（14分）设函数f（x）sin2x+cos2x（xR）（1）请作出该函数在长度为一个周期的闭区间的大致图象；（2）试判断该函数的奇偶性，并运用函数的奇偶性定义说明理由；（3）求该函数的单调递
4、增区间15（14分）已知数列an中，a13，an+12an1，设bnan1（1）求证：数列bn是等比数列；（2）设数列an的前n项和为Sn，求满足Sn2019的n的最小值2018-2019学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（32分）本大题共有8题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律不得分1【分析】设出半径与弧长，利用弧长公式lr求出弧所对的圆心角的弧度数【解答】解：设半径为r，则弧长为2r，由弧长公式得弧所对的圆心角的弧度数是2故答案为：22【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：sin
5、（cot）cos，故答案为：cos3【分析】直接利用两角差的正切公式代入即可求解【解答】解：tan2，则3故答案为：34【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得要求式子的值【解答】解：，平方可得12sincos1sin2，则sin2，故答案为：5【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值【解答】解：tan3，则cos2，故答案为：6【分析】由题意及方位角的定义在三角形ABS中并利用正弦定理得到BS，然后代入数值计算即可【解答】解：由条件可得，S+A76，S764036，在三角形SAB中由正弦定理，得，BS54.7故答案为：54.77【分析】cot，
6、因此当x（0，）时，acrcot（），【解答】解：ycotx，x（0，），当时，cotacrcot（）故答案为：8【分析】从第1排开始每排座位数形成等差数列an，其中a118，an36公差为d2，可得3618+2（n1），解得n再利用求和公式即可得出【解答】解：从第1排开始每排座位数形成等差数列an，其中a118，an36公差为d2，则3618+2（n1），解得n10该电影院共有座位270故答案为：270二、选择题（12分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序的正确结论代号涂黑，选对得4分，否则一律得零分9【分析】根据充分条件和必要条件的定义
7、分别进行判断即可【解答】解：设三角形的三个角为：A、B、C；则：A+B+C1800，若：“ABC三个内角的度数可以构成等差数列”即：A、B、C构成等差数列；则：2BA+C，因为：A+B+C1800，所以：3B1800，B60，可推出“ABC中有一个内角为60”若：“ABC中有一个内角为60”，假设B60，则：A+C180060012002B；即：2BA+C，根据等差中项的定义可得A、B、C构成等差数列所以能推出“ABC三个内角的度数可以构成等差数列”由充要条件的定义可得：“ABC三个内角的度数可以构成等差数列”是“ABC中有一个内角为60”的充要条件故选：C10【分析】由正弦函数的单调性可得方
8、程sinx在0，2）上的解集【解答】解：，x0，2），xarcsin，或x，方程的解集为：arcsin，故选：C11【分析】由已知利用余弦定理可得a2+b2c2，可求C为直角，即可判断ABC一定为直角三角形【解答】解：由余弦定理可得：b2+c2a2+2bccosA，由已知可得：2a2+2bccosA2bccosA+2accosB，可得：accosBc，整理可得：a2+b2c2，C为直角，ABC一定为直角三角形故选：D三、解答题（本题满分56分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤12【分析】（1）结合三角函数的定义即可证明；（2）结合二倍角公式及诱导
9、公式即可证【解答】证明：（1）设终边上任意一点P（x，y），r与的终边关于y轴对称，因而由Q（x，y）在的终边上，从而有cos，cos（），cos（）cos；（2）证明：1+cos（）1+sin2即证13【分析】（1）由题意利用函数的定义域、奇偶性、周期性的定义，结合正弦函数的性质，得出结论（2）以正弦函数ysinx的单调性为依据，并运用函数的单调性定义，证得结论【解答】解：（1）函数，sinx0，xk，kZ，故函数的定义域为x|xk，kZ显然，f（x）的周期，即ysinx的周期，为2由于满足f（x）f（x），故f（x）为奇函数（2）证明：正弦函数ysinx在区间上单调递增，且f（x）的值域为
10、（0，1），设0x1x2，则0sinx1sinx21，f（x1）f（x2），即 f（x1）f（x2），故yf（x）在区间上单调递减14【分析】（1）用五点法作图，作出该函数在长度为一个周期的闭区间的大致图象（2）利用正弦函数的奇偶性作出判断（2）利用正弦函数的单调性，求出该函数的单调递增区间【解答】解：（1）函数f（x）sin2x+cos2xsin（2x+），列表： 2x+ 0 2 x f（x） 0 0 0作图：（2）该函数为 非奇非偶，f（x）sin（2x+），而f（x）sin（2x+），f（x）sin（2x+），f（x）f（x），且f（x）f（x），故f（x）为非奇非偶函数（3）令2k2x+2k+，求得kxk+，可得它的增区间为 （kZ）15【分析】（1）将数列的递推公式变形，可得an+1+12（an+1），即可得到结论；（2）先求数列an+1的通项，再求数列an的通项公式；利用分组求和，即可求数列an的前n项和【解答】（1）证明：an+12an1（nN*），an+112（an1），a13，an+1是以a112为首项，2为公比的等比数列；即：数列bn是等比数列；（2）解：由（1）知，an12n，an2n+1；数列an的前n项和为Sn+n2n+12+nSn2019，可得：2019，n9，满足Sn2019的n的最小值：n10
