《2013-2014成都理工大学第二学期《高等数学 i、ⅱ》(下)期末考试试卷 高数下试题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013-2014成都理工大学第二学期《高等数学 i、ⅱ》(下)期末考试试卷 高数下试题及答案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 成都理工大学成都理工大学 20201 13 320201 14 4 学年学年 第第二二学期学期高等数学高等数学 I I、( (下下) )期末期末考试考试试卷试卷 大题 一 二 三 四 五 总分 得分 一、填空题（每题 3 分，共计 24 分） 得分 1函数 22 1 14 z xy 的定义域 22 1xy 且 22 17xy 2 2 1 lim 1 x x y x ya x e 3设 L 为空间圆周曲线 2222 0 xyza xyz ，则积分 dsx L 2 = 3 3 2 a 4函数 22 ln(1)zxy，则 1 2 x y dz 12 33 dxdy 5交换累次积分顺序 1121
2、 0111xx dxfdydxfdy = 1 0 1 1 2 ),( y y dxyxfdy 6幂级数 1 n n x n 的收敛域为 -1, 1) 7. 设 22 zxy，则 zz xy xy 22 yx 或 z 8. 将xOy坐标面上的双曲线3694 22 yx绕 y 轴旋转一周所得的旋转 曲面方程为369)(4 222 yzx。 二、选择题（每题 3 分，共计 24 分） 得分 1设 2 2uxyz，则u在（2，-1，1）处的方向导数最大值为（ A ） A2 6 B. 4 C. 2 2 D. 24 2设函数( , )f x y在点 00 (,)p x y的两个偏导数 x f和 y f 都
3、存在，则（ B ） 2 A 0 0 lim xx yy ( , )f x y存在 B 0 0 lim( ,) xx f x y 及 0 0 lim(, ) yy f xy 都存在 C ( , )f x y在 p 点必连续 D( , )f x y在 p 点必可微 3在曲线 2 3 xt yt zt 的所有切线中，与平面24xyz平行的切线（ D ） A. 只有 1 条 B. 至少有三条 C. 不存在 D. 只有 2 条 4 设 L 是抛物线 2 yx上从点(1, 1)A到点(1,1)B的弧段，则积分 L xydx 的值 是（ C ） A . 0 B. 4 5 C. 4 5 D. 2 5 5. 设
4、 区 域由 曲 面 22 yxz和 222 yxz所 围 成 ， 三 重 积 分 dvzyxf)( 222 在柱面坐标系下可化为（ B ） A. 2 )( 22 1 0 2 0 dzzfdd B. 2 )( 22 1 0 2 0 dzzfdd C. 2 )( 22 1 0 2 0 dzzfdd D. 2 )( 22 1 0 2 0 dzzfdd 6. 设 函 数( )f x是 以2为 周 期 的 周 期 函 数 ， 在 闭 区 间 , 上 有 10 ( ) 10 xx f x xx 则( )f x的傅立叶级数在x处收敛于（ A ） A1 B.1 C.1 D.0 7设 1 ( 1) ln 1 n
5、 n u n ，则级数 （ C ） A 1 n n u 与 2 1 n n u 都收敛 B. 1 n n u 与 2 1 n n u 都发散 C. 1 n n u 收敛而 2 1 n n u 发散 D. 1 n n u 发散而 2 1 n n u 收敛 8直线 1 1 0 1 1 2 zyx 与平面2zyx的位置关系是（ A ） A直线与平面平行 B. 直线在平面上 C直线与平面垂直 D. 直线与平面斜交 三、解答下列各题（每题 6 分，共计 18 分） 得分 3 1 计算积分 22 22 1 1 xy dxdy xy . 解： 22 22 1 1 xy dxdy xy 21 200 2 1
6、r ddr r (6 分) 1 个积分变量的 2 个积分限（上、下限）都写正确，得 1 分； （共 2 分） 面积元素的 r 写正确，得 1 分；被积函数替换成 r 的函数写正确，得 1 分； 最后答案正确，得 2 分。 2讨论级数 1 2 ! n n n n 的敛散性. 解: 12 lim1 n n n u ue （正确写出公式 2 分， 计算正确 2 分， 共 4 分） 故原级数收敛。 （2 分） 3设),(xyxfz 2 且),(yxfz 二阶偏导数均连续，求 x z 和 2 2 y z . 解： 21 2f yf x x z （写对一项得 1 分，共 2 分） 221 0f xf xf
7、 y z （2 分） 22 2 2221 2 2 )0(fxf xfx y z （2 分） 4求函数zyxuln3lnln在球面 2222 5Rzyx上的最大值. 解：设)5(ln3lnln),( 2222 RzyxzyxzyxF （2 分） 05 02 3 02 1 02 1 2222 RzyxF z z F y y F x x F z y x (2 分) 4 解出RzRyx3, (1 分) 则u的最大值为)33ln( 5 R （1 分） 四、解答下列各题（每题 6 分，共计 18 分） 得分 1验证积分 (2,3) (1,1) ()()xy dxxy dy 与路径无关，并求其积分值. 解：
8、1 PQ xy 与路径无关 （2 分） 取 :21 (12 )Lyxx （1 分） 原式 2 1 5 (31)2(1) 2 xx dx （3 分） 2求幂级数 1 (1)n n n x 的和函数. 解：收敛域： （0，2） （2 分） 1 ( )(1)n n s xn x 1 (1)(1)n n xx （2 分） 1 (1)1 (1) x x x (11)x （1 分） 2 1 ( 2) x x (02)x （1 分） （注：如果不标明收敛域扣 2 分） 3 计算曲面积分 S dxdyydzdxdydzxI) 1( ， 其中 s 是三个坐标 面与平面1xyz所围成的四面体表面的外侧. 解：由高
9、斯公式 V PQR Idv xyz （2 分） 2 V dv （2 分） 11 21 1 1 63 （2 分） 5 4计算曲线积分dyyedxyyeI L xx )2cos()2sin(，其中 L 为上半圆周 222 )ayax（，0y ，沿逆时针方向. 解：画出图形并补充有向直线段 （1 分） LOAOA I （1 分） 0 D QP dxdy xy = D )2coscosdxdyyeye xx （ = D 2dxdy (3 分) 2 a （1 分） 五、证明题（4 分） 得分 若级数 2 1 n n u 收敛，证明：级数 1 n n u n 绝对收敛. 证明： 2 2 111 2 n nn u uu nnn （2 分分） 又由级数 2 1 n n u 收敛，级数 2 1 1 n n 收敛， 则：级数 2 2 1 11 2 n n u n 收敛， （1 分分） 故, 级数 1 n n u n 绝对收敛。 （ 1 分分）
