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1、09年全国初中数学联赛试题及答案时间：2009-6-3 14:33:52 点击：158332009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则 （ ）A.24. B. 25. C. . D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC （ ）A. B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）A. B. . C. .
2、D. .5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE （ D ）A. B. . C. . D. .6设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是_.2 设D是ABC的边AB上的一点，作DE/BC交AC于点E，作DF/AC交BC于点F，已知ADE、DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为_.3如果实数满足条件，则_.4已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_对.
3、第一试答案：ACCBDB；3，1，7第二试 （A）一（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：P与轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为P的直径且，求和的值.解: （1）易求得点的坐标为，设，则，.设P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OAOBOCOD，则.因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为ABCD，如果AB恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即. 又，所以，解得. 二（本题满分25分）设
4、CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是ADC、BDC的内心，AC3，BC4，求.解 作EAB于E，FAB于F.在直角三角形ABC中，AC3，BC4，.又CDAB，由射影定理可得，故，. 因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以.连接D、D，则D、D分别是ADC和BDC的平分线，所以DCDADCDB45，故D90，所以DD，. 同理，可求得，. 所以. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 证明：以为三边长可构成一个直角三角形.证法1 将两式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 证法2 结合式，由式可
5、得，变形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二 （本题满分25分） 已知ABC中，ACB90，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EFAB. 解 因为BN是ABC的平分线，所以.又因为CHAB，所以，因此. 又F是QN的中点，所以CFQN，所以，因此C、F、H、B四点共圆. 又，所以FCFH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EFCH.又ABCH，所以EFA
6、B. 三（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1 将两式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.解法2 结合式，由式可得，变形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.下载附件：
7、中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1若 ，则 的值为（ ）（A） （B） （C） （D） 解： 由题设得 2若实数a，b满足 ，则a的取值范围是 （ ）（A）a （B）a4 （C）a 或 a4 （D） a4解C因为b是实数，所以关于b的一元二次方程 的判别式 0,解得a 或 a43如图，在四边形ABCD中，B135，C120，AB= ，BC= ，CD ，则AD边的长为（ ）（A） （B） （第3题）（C）
8、（D） 解：D 如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F由已知可得（第3题）BE=AE= ，CF ，DF2 ，于是 EF4 过点A作AGDF，垂足为G在RtADG中，根据勾股定理得AD 4在一列数 中，已知 ，且当k2时， （取整符号 表示不超过实数 的最大整数，例如 ， ），则 等于（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由 和 可得， ， ， ， ， ， ，因为2010=4502+2，所以 =25如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y轴上一点P（0，2）绕点A旋转18
9、0得点P1，点P1绕点B旋转180得点P2，点P2绕点C旋转180得点P3，点P3绕点D旋转180得点P4，重复操作依次得到点P1，P2， 则点P2010的坐标是（ ） （第5题）（A）（2010，2） （B）（2010， ） （C）（2012， ） （D）（0，2）解：B由已知可以得到，点 ， 的坐标分别为（2，0），（2， ）记 ，其中 根据对称关系，依次可以求得：， ， ， 令 ，同样可以求得，点 的坐标为（ ），即 （ ），由于2010=4 502+2，所以点 的坐标为（2010， ）二、填空题6已知a 1，则2a37a22a12 的值等于 解：0 由已知得 (a1)25，所以a22a
10、4，于是2a37a22a122a34a23a22a123a26a1207一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t 解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为 （千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得， ， 由，得 ，所以，x=30 故 （分） （第8题8如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C
11、（4，4），D（6，4），E（6，0）若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 （第8题）解： 如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF CE，DF，且相交于点N由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线 把矩形ABFO分成面积相等的两部分又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分于是，直线 即为所求的直线 设直线 的函数表达式为 ，则 解得 ,故所求直线 的函数表达式为 （第9题）9如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D若CDCF，则 解： 见题图，设 因为RtAFBRtABC，所以 又因为 FCDCAB，所以 即 ，解得 ，或 （舍去）又Rt Rt ，所以 ， 即 = 10对于i=2，3，k，正整数n除以i所得的余数为i1若 的最小值 满足 ，则正整数 的最小值为 解： 因为 为 的倍数，所以 的最小值 满足，其中 表示 的最小公倍数由于 ，因此满足 的正整数 的最小值
