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1、主 要 内 容,111 周期非正弦信号,112 周期非正弦信号的傅立叶级数, 113 周期非正弦信号的频谱,114 傅立叶系数与波形对称性的关系, 115 周期非正弦信号的有效值、平均值和电路的功率, 116 周期非正弦信号激励时电路的响应,主 要 内 容, 117 不同频率正弦电源共同作用下电路的分析,118 对称三相电路中的高次谐波,111 周期非正弦信号,电工、电子技术中常遇到周期非正弦信号，下图示出了几种常见的周期非正弦电压和电流。,周期非正弦电路的形成： （1）线性电路中激励为周期非正弦信号； （2）线性电路中，激励为若干个不同频率的正弦信号； （3）激励为正弦信号，但电路中有非线性
2、元件（如铁心线圈、铁心变压器等）或时变元件； （4）前两种激励作用于非线性元件。 本章仅讨论第（1）、（2）两种情况。,说明：全波整流电压和单相可控硅整流电压的周期是按整流电路输入正弦电压的周期计，所以T为两个半波对应的时间。,112 周期非正弦信号的傅立叶级数,任何周期非正弦函数当满足狄里赫利条件时，都可展开成傅立叶级数。电工、电子技术中的周期非正弦信号，通常都满足狄里赫利条件。 一. 周期非正弦信号 f(t) 展成傅氏级数,f(t),周期：T,频率：f 1 / T,角频率： 2/ T,傅氏级数形式一：, ,傅氏级数形式二：式可写成如下形式, ,二. 傅氏级数各参数之计算 由数据分析有,对应
3、,式：,三 . 说明 1 . 式中 f (t)的恒定分量或直流分量 f (t)的基波（分量）或1次谐波（分量） f (t)的2次谐波（分量） f (t)的3次谐波（分量）,.,.,.,2次及2次以上的谐波统称为高次谐波；,2 . 傅氏级数具有收敛性，即随着频率的增加，谐波幅值总的趋势越来越小； 3 . f (t) 波形越平滑，越接近正弦，其高次谐波分量越小，级数,收敛越快； f (t) 波形越不平滑或有跳跃其高次谐波分量大，级数收敛慢。,例111 求下图所示周期方波信号 f (t) 的傅立叶级数。,解 （1）傅立叶系数a0、 ak、 bk：由公式得,（2） f (t) 的傅立叶级数展开式：将求
4、得的傅立叶系数带入式，得,周期非正弦信号的傅立叶级数有无穷多项，由于它具有收敛性，因此，一般可只取前若干项近似表示。项数取得越多，近似效果越好。上例方波信号的傅立叶级数展开式，若取前四项、即取到5次谐波，其合成波形如下图（a）所示。若取前7项、即取到11次谐波，则合成波形如图（b）所示。可见所取谐波项数越多。合成的波形越接近原信号波形。,几种常见的周期非正弦信号的傅立叶级数见本章最后一页。,本节完, 113 周期非正弦信号的频谱,为了直观、清晰地看出各谐波幅值Akm、初相位k与频率k之关系，可以画出Akm k1和k k1的谱线图，它们分别称为幅度频谱图和相位频谱图（见下面的例） 例,其对应的频
5、谱图如下：,频谱图中的竖线称为谱线，谱线只可能在离散点k1的位置上出现，因此是离散频谱。谱线的间距取决于信号 f (t) 的周期T，T越大， 1越小，谱线间距越窄，谱线越密。,信号的幅度频谱和相位频谱的重要性在不同场合有所不同，如传送语音信号时，重要的是使各频率分量的幅值相对不变，以保持原来的音调，即不失真，因此幅度频谱很重要，而相位频谱并不重要，因为人的听觉对各频率分量的相位关系不敏感。但是在传送图像信号时，保持各频率分量间的相位关系则对图像的不失真具有重要意义。,114 傅立叶系数与波形对称性的关系,对一个周期非正弦函数进行分解时，应先分析它是否具有对称性。如果波形具有对称性，则它的某些傅
6、立叶系数将为零，利用这一特点，计算将大为简化。下面分析傅立叶系数波形对称性的关系。,一 . f (t) 波形在一个周期内，在 t 轴上、下的面积相等,下面所示波形属于此情况，此时有,二 . f (t) 为偶函数 f (t) f (t),波形特点：对称于纵轴，例如上图（a）。,傅氏级数特点：不含奇函数，即傅氏级数形式一中无正弦分量，,式中a0可能为零，也可能不为零。上图（a）的a00，若图（a）的t 轴下移，则 。,三 . f (t) 为奇函数 f (t) f (t),波形特点：对称于原点，例如上图（b）。,傅氏级数特点：不含偶函数和直流分量，即,四 . 奇谐波函数,波形特点：前半周波形平移半个
7、周期后与后半周波形对 t 轴呈镜像对称，例如下图：,傅氏级数特点：不含恒定分量和偶次谐波分量，即,或,五 . 偶谐波函数,波形特点：后半周为前半周的重复。,f (t),T/2,T,0,t,傅氏级数特点：不含奇次谐波分量，即,或,六 . 说明,1 . 周期信号是奇函数还是偶函数，除与波形有关外，还与计时起点有关，例如下图所示 f (t) ，当,f (t),t,o1,o2,坐标原点为 o1 f (t) 是奇函数,坐标原点为 o2 f (t) 是偶函数,2 . 周期信号是奇谐波函数还是偶谐波函数，仅与波形有关，而与计时起点无关。,本节完, 115 周期非正弦信号的 有效值、平均值和电路的功率,一 .
8、 周期非正弦信号的有效值和平均值,1 . 有效值 任何周期信号的有效值等于其瞬时量的方均根值（见第六章第一节）。周期电流 i(t)的有效值为, ,将i(t)分解为傅氏级数, ,式代入式，经计算（见参考书）得,式中 I0 i(t)的直流分量,式中 Ik i(t)的k次谐波有效值， 。,周期非正弦信号的有效值，等于不同频率的各谐波有效值平方和的开方（直流分量可视为信号的零次谐波），即,结论：,同理，周期非正弦电压u(t)的有效值为,例112 试求,的有效值U。,解,思考,（答案见例113后）：上例,（1）若 ，有效值U变否？,（2）若 ，U变否？ u(t)的波形变否？,例113 求下图所示锯齿波电
9、压u的有效值。,u,t,0,T,解 图示锯齿波电压可写成,Um,用方均根求有效值有,此题若用锯齿波的各谐波分量有效值平方和的平方根计算，只能取有限项，显然会出现误差，项数取得越多，误差越小。周期信号可用解析式表达时，有效值应直接用方均根值计算。,思考题答案,（1）U变。,中，第二、三项是同次谐波（基波），而有效值是等于不同频率的各谐波有效值平方和开方，因此要先求出同次谐波合成后的有效值（用相量法），然后再进行计算。,对应,（2）U不变，波形要变。,结论：,有效值与不同频率的各谐波的相位无关； 有效值相等的非正弦信号的波形一般都不相同。,2 . 平均值 电工、电子技术中，有时要用到电压、电流的平
10、均值。平均值的定义是：信号的绝对值在一个周期内的平均值。以电流i为例，其平均值为,正弦电流 的绝对值 i 的波形是全波整流波形，根据上式，正弦电流的平均值为,此式表明，正弦信号的平均值约为有效值的0.9倍，或有效值约为平均值的1.11倍。,二 . 周期非正弦电流电路的平均功率（有功功率）P,右图所示二端网络N的u 、i为,。,。,u,i,N, , ,网络N吸收的平均功率为,将式、 代入上式，经计算（见参考书）后得,式中Uk、 Ik为k次谐波电压、电流的有效值， 为k谐波电压与k次谐波电流的相位差角，即,上式亦可写成, ,结论：,周期非正弦电流电路的平均功率等于直流分量产生的功率和各次谐波产生的平均功率之和，即,这称为功率叠加。,注,意,及,说,明,（1）不同频率的电压、电流不构成平均功率，只有相同频率的电压、电流才构成平均功率； （2）功率叠加只对不同频率的谐波功率有效； （3）电路中，只有电阻元件消耗有功功率。周期非正弦电路 中，电阻吸收的有功功率仍为 或 。,
