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1、第二章 基本初等函数(),2.3 幂函数,1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.,学习目标,3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数. 思考 (1)任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数ymx是幂函数，m应满足什么条件？ 答 并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的yx和yx2是幂函数.若ymx是幂函数，则必有m1. (2)幂函数与指数函数有何区别？ 答 幂函数与指数函数不同点在于：幂函数形式为yx(R)，其自变
2、量x处于底数位置，常数处于指数位置；而指数函数形式为yax(a0且a1)，其自变量x处于指数位置，常数a处于底数位置，且a须满足大于0而且不等于1.,答案,yx,答案,知识点二 幂函数的图象与性质,0，),(，0) (0，),返回,答案,(1，1),0，),0，),y|yR，且y0,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,增,增,减,增,增,减,减,题型探究 重点突破,题型一 幂函数的概念,解析答案,解 设f(x)x，,故f(x)x2，f(2)224.,(2)已知函数f(x)(a23a3)x (a为常数)为幂函数，且在(0，)上单调递减，求实数a的值. 解 f(x)为幂函数，a23a31， 得a1或a2.
3、当a1时，f(x)x，在(0，)上单调递增，不合题意. 当a2时，f(x)x1，在(0，)上单调递减，符合题意. 综上，得a的值为2.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟 1.幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数. 2.当0时，幂函数在第一象限内单调递增；当0时，幂函数在第一象限内单调递减.,a25a5,跟踪训练1 函数f(x)(m2m1)x 是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式. 解 根据幂函数定义得， m2m11，解得m2或m1， 当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数， 当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不合题意. f(x)的解析式为f
4、(x)x3.,解析答案,m2m3,解析答案,题型二 幂函数的图象,反思与感悟,反思与感悟,解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当n0时，对于yxn，n越大，yxn递增速度越快，n0时看|n|的大小. 根据幂函数yxn的性质，在第一象限内的图象当n0时，n越大，yxn递增速度越快，,答案 B,反思与感悟,幂函数图象的特征： (1)在第一象限内，直线x1的右侧，各幂函数图象对应的指数逆时针增大；在第一象限内，直线x1的左侧，指数也呈逆时针增大. (2)幂函数yx，若0，在第一象限内函数单调递增；若1，曲线下凹；当0，曲线下凹.,解析答案,跟踪训练2 如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图
5、象，则( ) A.1n0m1 B.n1,0m1 C.1n0，m1 D.n1，m1 解析 方法一 在(0,1)内取同一值x0，作直线xx0，与各图象有交点，如图所示.根据“点低指数大”，有0m1，n1. 方法二 根据幂函数图象增减性知m0，n0，由x1右侧指数逆时针增大，知n1，由图象上凸知0m1，故选B.,B,解析答案,题型三 比较幂的大小 例3 比较下列各组数的大小.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数. 2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是
6、否可以引入中间量.,解析答案,跟踪训练3 比较下列各组数的大小：,(2)3.143与3； 解 yx3是R上的增函数，且3.14， 3.1433，3.1433.,解析答案,解析答案,题型四 幂函数的奇偶性 例4 判断下列函数的奇偶性：,(2)yx2；,解析答案,反思与感悟,f(x)的定义域为(0，)，不关于原点对称. f(x)为非奇非偶函数.,解析答案,A.增函数且是奇函数 B.增函数且是偶函数 C.减函数且是奇函数 D.减函数且是偶函数,解析 由幂函数的性质知当0时，yx在第一象限内是增函数，,奇函数的图象关于原点对称，,答案 A,忽略幂函数定义致误,易错点,解析答案,错解 根据幂函数的定义y
7、x，为常数，,易错警示,所以a的取值范围是a|a1. 正解 根据幂函数的定义yx，为常数， 知a211，即a0，,所以a的取值范围为0.,易错警示,返回,解析答案,所以m2m11，即(m2)(m1)0， 所以m2或m1. 当m2时，m22m33，yx3是幂函数，且在(0，)上是减函数. 当m1时，m22m30，yx01(x0)不是减函数， 所以m2，此时yx3. 所以函数的定义域是x|xR且x0.,当堂检测,1,2,3,4,5,1.下列给出的函数中，是幂函数的是( ) A.y3x B.y2x3 C.yx3 D.yx31,C,答案,解析答案,1,2,3,4,5,2.若函数y(k2k5)x2是幂函
8、数，则实数k的值为( ) A.3 B.2 C.3或2 D.k3且k2 解析 由幂函数的概念可知k2k51，即k2k60， 得k2，或k3.,C,解析答案,1,2,3,4,5,解析 由于f(0)0，所以排除C，D选项，,B,1,2,3,4,5,解析答案,4.设f(x)(m1)x ，若f(x)为正比例函数，则m_；若f(x)是反比例函数，则m_；若f(x)是幂函数，则m_.,若f(x)是幂函数，则m11，m2.,2,1,m22,1,2,3,4,5,解析答案,而c(2)3230，abc.,abc,课堂小结,1.幂函数yx的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量. 2.幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小. 3.简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1. (2)如果0，幂函数在0，)上有意义，且是增函数. (3)如果0，幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数.,返回,
