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1、,第9章 振 动,9-1 简谐振动 振幅 周期和频率 相位,9-2 旋转矢量,9-3 单摆和复摆,9-4 简谐运动的能量,9-5 简谐运动的合成,*9-6 阻尼振动和受迫振动,9-1 简谐运动,机械振动: 物体在一定位置附近作来回往复的周期性运动.,广义振动：,任一物理量在某一数值附近作周期性变化时，,简谐运动: 最简单最重要的振动 (正余弦形式的运动),叠加原理：任何复杂的振动都可以看作是间谐振动的叠加。,称该物理量在作振动。（如交流电的电流、电压，电磁波中的电场和磁场等。）,一、简谐运动 (谐振动),物体振动时，如果离开平衡位置的位移随时间的变化可表示为余弦或者正弦函数，则该振动称为简谐运
2、动 ( 简称谐振动 )。,1. 弹簧振子,弹簧振子：轻质弹簧 + 物体（无摩擦）。,振动物体所受合外力为零的位置。,平衡位置：,平衡位置,- 简谐振动的运动方程,其解为：,-积分常数，由初始条件确定,受力:,平衡位置,令：,根据初始条件确定 A 和 ,注意：在一个周期内 可取两个值，取哪个值可用初始 速度的正负来判断。,线形回复力：,简谐运动的特征：,只要满足上面之一既为简谐振动,运动方程:,微分方程:,2. 简谐振动的速度和加速度,取,振动曲线,也是简谐运动.,二. 简谐运动的特征量,周期T ：物体完成一次全振动所需的时间。,物体在单位时间内完成振动的次数。,频率 ：,1. 周期T 频率 角
3、频率,周期T 频率 角频率 - 系统本身性质决定,角频率（圆频率）：,单位时间内转过的弧度。,弹簧振子:,2. 振幅 A,谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。,因此 决定振动物体的运动状态 。,3. 相位,是 t 时刻的相位。,是 t =0 时刻的相位，称初相。,4. 同相与反相,相位差,同频率的两振动：,当 = 2k , ( k =0,1,2,) ,两振动步调相同,称同相。,x2,T,x,o,x1,t,同相,当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,) ,两振动步调相反,称反相。,x2,T,x,o,x1,t,反相,讨论: 已知 t =0 时， 弹簧振子处在平衡位置向正方向运动.
4、求 ,匀速旋转的角速度为:,9-2 旋转矢量,-简谐运动方程,旋转矢量:,绕o点旋转,t=0时A和x轴夹角:,t 时刻A和x轴夹角:,t 时刻A的x轴投影:,简谐运动和圆周运动一一对应。,设计一旋转矢量：,以o为原点旋转矢量 的端点在x轴上的投影点的运动为简谐运动.,结论：简谐振动和旋转矢量一一对应( x, A, , , t+ )可以用旋转矢量表示简谐振动,t =0,t 时刻,例1 求下列振动的初相位,1）,2）T=2s, t=1s时，处在平衡位置向正方向运动。,例2 一简谐振动T=2s, 问从A/2处运动到平衡位置所需的最短时间。,例3 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数k=
5、0.72N/m，物体的质量m=20g,把物体从平衡位置向右拉到 x = 0.05m 处停下后再释放。 1）求简谐运动方程； 2）物体在 x=0.05m 处所受的力； 3）求物体从初位置运动到第一次到达 A/2 处时所需时间和速度; 4）如果物体在 x=0.05m 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度v0=0.30m/s，求其运动方程.,0.05,解 1),由旋转矢量图可知,2),3) 求物体从初位置运动到第一次到达 A/2 处时所需时间和此时的速度,由旋转矢量图可知:,（负号表示速度沿ox轴负方向）,由旋转矢量图,0.05,0.0707,4) 如果物体在 x =0.05m 处时速度不等于零，
6、而是具有向右的初速度v0=0.30m/s，求其运动方程.,例4 一质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m，周期为4s，起始时刻物体在x=0.04m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求: 1) t=1s时，物体所处的位置和所受的力；,解: 1),由t=0时的旋转矢量图可知,2)由起始位置运动到 x =-0.04m 处所需要的最短时间.,一. 单摆,9-3 单摆和复摆,其中小球对o的转动惯量:,令:,则:,转动定律:,对o力矩:,有:,o,解为:,其中:,二. 复摆,（C点为质心）,令:,则:,解为:,力矩:,转动定律:,复摆,弹簧振子,单摆,结论: 振动频率只与谐振子自身有关,例
7、1 一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的震动周期。设水的密度为 。,解 此船静浮时，所受的浮力和重力平衡,y,P,P,任一位置时的合力:,平衡位置,任一位置,例2 在横截面为S的U形管中有适量液体，液体总长度为l，质量为m，密度为 ，求液面上下起伏的振动周期（忽略液体与管壁间的摩檫）。,解 建立 oy, 原点取在液面相平的 位置.,y,y,O,y,当左面生高 y 时,受力:,则:,火车沿水平轨道以加速度a 作匀加速直线运动,则车厢中摆长为l 的单摆的周期为,思考1:,思考2: 一长为l质量为m的均质细杆，求振动周期。,一块均匀的长木板质量
8、为m, 对称的放在相距为l = 20cm的两个滚轴上. 两滚轴的转动方向相反, 已知滚轴表面与木板的摩擦系数为 =0.5. 今使木板沿水平方向移动一段距离后释放, 证明此后木板将作简谐振动并求其周期.,思考3:,作简谐运动的系统机械能守恒,以弹簧振子为例,9-4 简谐运动的能量,其中:,能量,例1. 一个质量为0.04kg的物体，受恢复力F=-kx作用，力常数k=1N/m，当t=0时，物体在平衡位置右方0.1m处，速度为0.5m/s向右，试计算此物体作简谐运动时的 （a）振动周期，频率和角频率，（b）总能量，（c）振幅，（d）初相位，（e）最大速度，（f）最大加速度，（g）t=/10s时物体的
9、位置，速度及加速度。（h）在何处动能和势能相等。,解,（a） =5/s T=0.4 s =1.26s =0.8Hz,（b） E=0.01J,（c） A=0.141m,（d） = - /4 rad,（e） vmax= 0.71m/s,（f） amax= 3.53m/s2,（g） x=0.1m v= -0.5 m/s a= -2.5 m/s2,（h） x= 0.1m,一. 两个同方向同频率简谐运动的合成,两分振动（同频率）：,合振动-旋转矢量合成：,结论：合振动 x 仍是简谐振动，频率和分振动相同。,9-5 简谐运动的合成,t = 0,讨论:,1） 若两分振动同相, 即:,则 A=A1+A2 最大
10、 , 两分振动相互加强。合振动的相位和分振动相同。,2） 若两分振动反相, 即:,当 A1=A2 时, A=0,则A=|A1-A2| 最小, 两分振动相互减弱。合振动的相位和振幅大的分振动相同。,二.两个同方向频率相差很小的简谐运动的合成 拍,频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象-拍.,合振动为：,合振动 :,分振动 :,（ 设振幅相同,初相均为0 ）,因为：,则有：,其中:,拍振幅的变化频率-拍频:,拍的应用： 乐器较音，测量频率，等,拍的振幅:,结论：合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动 - 拍,习题二，5,t = t,*三、两个相互垂直同频率谐振
11、动的合成*,1.分振动,2. 合运动,讨论:,1） 当 = 2 1= k （k为整数）时:,2） 当 = （ 2k +1 ） /2 （k为整数）时：,x,y,四、两相互垂直不同频率的简谐运动的合成李萨如图*,测量振动频率和相位的方法,李 萨 如 图,9-6 阻尼振动 受迫振动 共振,一. 阻尼振动,1. 阻尼力,2. 振动的微分方程,式中，2=k/m , n = /(2 m) (阻尼系数),3. 几种阻尼振动模式,（1）小阻尼,（3）大阻尼,l0,x,（2）临界阻尼,（2）临界阻尼( n2 = 2 ),（1）小阻尼 ( n2 2 ),二. 受迫振动,1. 受力分析,弹性力,阻尼力,周期性干扰力,2. 受迫振动的微分方程,l0,x,3.受迫振动微分方程的稳态解为:,其中，振幅 B 及受迫振动与干扰力之间的相位差分别为：,结论:,振幅 B 及受迫振动与干扰力之间的相位差都与起始条件无关。,讨论:,（1）位移共振(振幅取极值),（2）速度共振(速度振幅取极值),（1）位移共振(振幅取极值),（振幅共振曲线）,共振频率 :,共振振幅 :,（2）速度共振(速度振幅取极值),共振频率 :,共振速度振幅 :,（速度共振曲线）,共振的应用和危害,如何减小共振的影响 ,示教演示,
