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1、,一、 简谐运动方程二、 描述简谐运动的物理量（振幅、周期、频率和相位）三、 旋转矢量,第二章振动和波第一节简谐振动,机械振动,一、什么是振动,从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动。从广义上说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动。,二、什么是机械振动,机械振动是物体在一定位置附近所作的周期性往复的运动。,三、研究机械振动的意义,不同类型的振动虽然有本质的区别，但振动量随时间的变化关系遵循相同的数学规律，从而不同的振动有相同的描述方法。 研究机械振动的规律是学习和研究其它形式的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。,研究简谐运动的意义,在一切振动中，最简单和最基
2、本的振动称为简谐运动任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成,一）、简谐运动,1、弹簧振子,2、弹簧振子运动的定性分析,BO：弹性力向右，加速度向右，加速；OC： 向左， 向左，减速；CO： 向左， 向左，加速；OB： 向右， 向右，减速。物体在B、C之间来回往复运动,3、物体作简谐运动的条件,物体的惯性 阻止系统停留在平衡位置作用在物体上的弹性力驱使系统回复到平衡位置,一、 简谐运动方程,4、弹簧振子的动力学特征,取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为x轴的正方向。,力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置的，称为回复力。,简谐运动微分方程,5、简谐运动的运动学特征,说明：物体在简谐运动
3、时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。,二）、简谐运动的特点,1、从受力角度来看动力学特征,2、从加速度角度来看运动学特征,3、从位移角度来看运动学特征,说明：要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。,例1、一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。,因此 , 此振动为简谐振动。,
4、以平衡位置O为原点,弹簧原长,挂m后伸长,某时刻m位置,伸 长,受弹力,平衡位置,解：,求平衡位置,一）、振幅反映振动幅度的大小,1、定义A,作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。,2、说明,振幅恒为正值，单位为米(m);振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。,二、描述 简谐运动的物理量,二）、周期与频率反映振动的快慢,1、周期,定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位为秒(s),2、频率,定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用表示，单位为赫兹(Hz)。,3、圆频率,定义：物体在2秒时间内所作的完全振动的次数，用表示，单位为弧度/秒(rad.s-1或s
5、 -1)。,说明,简谐运动的基本特性是它的周期性,周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频率或固有圆频率。对于弹簧振子,简谐运动的表达式可以表示为,1、相位,2、初相位,3、相位差,定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。,对于同频率简谐运动、同时刻的相位差,说明,j0 质点2的振动超前质点1的振动j0 质点2的振动落后质点1的振动j=2k， k=0,1,2,， 同相（步调相同）j=(2k+1)，k=0,1,2,，反相（步调相反）,对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把
6、振幅、周期和初相位叫做描述简谐运动的三个特征量。,三)、相、初相、相差,四）、常数A和j 的确定,说明：(1) 一般来说j 的取值在和(或0和2)之间；(2) 在应用上面的式子求j 时，一般来说有两个值，还要由初始条件来判断应该取哪个值；(3)常用方法：由,求A，然后由x0=Acosjv0=-Asinj两者的共同部分求j 。,例1：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m，物体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到0.04m处释放，求振动方程。,解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、和即可。由题可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04
7、m，v00，代入公式可得,又因为x0为正，初速度v00，可得,因而简谐振动的方程为：,一、旋转矢量图示法,二、旋转矢量与简谐运动的关系,A 振幅w 圆频率j 初相位 wt+j 相位,三、 旋转矢量,三、旋转矢量的应用,1、作振动图,2、求初相位,3、可以用来求速度和加速度,4、振动的合成,例题：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s，初始时刻质点位于x0=0.03m处且向x轴正方向运动。求：（1）初相位；（2）在x=-0.03m处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位置所需要的最短时间。,解：（1）用旋转矢量法，则初相位在第四象限,（2）从x=-0.03m处且向向x轴负方向运动
8、到平衡位置，意味着旋转矢量从M1点转到M2点，因而所需要的最短时间满足,以水平的弹簧振子为例, 简谐振动的势能：, 简谐振动的动能：,Ek 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变化。,四、简谐振动的能量, 简谐振动的总能量：,弹性力是保守力总机械能守恒，即总能量不随时间变化。,谐振能量与振幅的平方成正比。,动能的时间平均值:,势能的时间平均值:,弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半。,结论：,例.有一水平弹簧振子，k=24N/m，重物的质量m=6kg，静止在平衡位置上，设以一水平恒力F=10N作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F，当重物运
9、动到左方最远位置时开始计时，求运动方程。,解：,依题意，有：,选取坐标如图，,一、两个同方向同频率简谐运动的合成,某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动,合振动,1、应用解析法,令,五、简谐振动的合成,2、应用旋转矢量法,合成振动是简谐运动,演示,3、讨论,合振幅最大,情况1,当 称为干涉相长,情况2,合振幅最小,当 称为干涉相消,情况3：一般情况,小 结,简谐运动简谐运动 简谐运动的特点简谐运动的振幅、周期、频率和相位振幅 周期与频率相位 常数A和j 的确定旋转矢量,作业P33 3，5，,基本概念与平面简谐波,机械波的几个概念平面简谐波的波函数,第二节波动,第二节,波动,振动在空
10、间的传播过程称为波动机械振动在弹性介质中的传播称为机械波如声波、水波、地震波等交变电磁场在空间的传播称为电磁波如无线电波、光波等,波动的特征,具有一定的传播速度；伴随着能量的传播；能产生反射、折射、干涉和衍射等现象；有相似的波动方程。,一）、机械波的产生,1、波动的产生,铙钹等乐器振动时，在空气中形成声波,音叉振动时，形成声波,小球点击水面，会形成水波,介质中一个质点的振动会引起邻近质点的振动，而邻近质点的振动又会引起较远质点的振动。这样，振动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去，形成波动。,一、 波的产生和传播,2、产生机械波的条件,波源： 产生机械振动的振源；弹性介质：传播机械振动
11、。,3、需要注意的问题,波动是波源的振动状态或波动能量在介质中的传播介质中的质点并不随波前进，只是在各自的平衡位置附近往复运动。,横波与纵波,波的传播方向向右,波的传播方向向右,质点振动方向水平,质点 振动方向向上,分类标准介质质点的振动方向与波动的传播方向的关系,1、横波,质点的振动方向与波的传播方向垂直。波峰波形凸起部分波谷波形凹下部分,2、纵波,质点的振动方向与波的传播方向平行。纵波的传播表现为疏密状态沿波传播方向移动。,二）、波长、波的周期和频率、波速,1、波长反映波动的空间周期性,定义：同一波线上两个相邻的、相位差为2p 的振动质点之间的距离，或沿波的传播方向，相邻的两个同相质点之间
12、的距离叫波长。,说明：波长可形象地想象为一个完整的“波”的长度；横波：相邻两个波峰或波谷之间的距离纵波：相邻两个密部或疏部之间的距离,2、周期和频率反映波动的时间周期性,定义：周期：波传播一个波长所需要时间，叫周期，用T表示。频率：周期的倒数叫做频率，用n 表示,说明：由于波源作一次完全的振动，波就前进一个波长的距离波的周期等于波源振动的周期；波的周期只与振源有关，而与传播介质无关。,3、波速u描述振动状态传播快慢程度的物理量,定义：在波动过程中，某一振动状态在单位时间内所传播的距离。,说明：由于振动状态的传播也就是相位的传播，因而这里的波速也称为相速。,4、三者关系式,在一个周期中，波前进一
13、个波长，故,小结：频率、周期：决定于波源波速：决定于传输介质波长：由波源和传输介质共同确定,三）、波线、波面、波前,1、概念,波线：沿波的传播方向画一些带箭头的线，称为波线；波面：不同波线上相位相同的点所连成的曲面，叫做波面或同相面、波阵面；波前：在某一时刻，由波源最初振动状态传到的各点所连成的曲面，叫波前。,2、特点,波线的指向表示波的传播方向同一波面上各点的相位是相同的在各向同性介质中，波线恒与波面垂直。,3、分类,平面波：波前为平面；柱面波：波前为柱面，由线状波源产生；球面波：波前为球面，由点波源产生；,*波动的分类按介质质点的运动方向与波动传播方向来分横波和纵波 按波的波前来分平面波、
14、球面波、柱面波 按波动的传播来分行波和驻波 按波动的明显的物理性质来分光波、声波、水波等 按传播波动的质点的行为来分脉冲波、周期波等。,例1：在室温下，已知空气中的声速为u1=340ms-1，水中的声速为u2=1450ms-1，求频率为200Hz的声波在空气和水中的波长。,解：由,得,空气中,水中,结论：同一频率的声波，在水中的波长要比在空气中的波长要长。原因：波速决定于介质，频率决定与振源，所以同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，但波速不同，因而波长也不同。,二、 波动方程,一）、平面简谐波的波函数,1、平面简谐波的概念,波源作简谐振动，波动所到之处的各个质点也在作简谐振
15、动，相应的波称为平面简谐波，或称为简谐波。,2、波动方程,波源,X轴上任一点P(x)，时间上要落后=x/u，P处振动的相位要比O处的相位落后,演示,平面简谐波的波动方程,若考虑O处质点的振动初相位,波数,3、波动中质点振动的速度和加速度,4、沿X轴负方向传播的平面简谐波的表达式,演示,1.振动方程与波函数的区别,波函数是波程 x 和时间 t 的函数，描写某一时刻任意位置处质点振动位移。,振动方程是时间 t 的函数,为距离原点为 d 处一点的振动方程。,为某一时刻各质点的振动位移，波形的“拍照”,二）.波函数的物理意义,例2：平面简谐波的传播速度为u，沿X轴正方向传播。已知距原点x0处的P0点处的质点的振动规律为 y=Acost求波动表达式。,
