《固体物理第五章晶体中电子能带理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《固体物理第五章晶体中电子能带理论（132页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 晶体中电子能带理论,5.1 布洛赫定理 5.2 克龙尼克潘纳模型 5.3 近自由电子近似(弱周期场近似) 5.4 紧束缚近似 5.5 电子在晶体中速度、加速度、有效质量 5.6 导体 半导体和绝缘体,5.1 布洛赫定理,一、能带理论的基本假设（3个近似） 实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系，但晶体性能主要和外层电子有关，把内层电子和原子核看成一个离子实（原子实），那么晶体就是由离子实（原子实）和外层电子组成的系统。,假定晶体体积 ， 含有N个带正电荷Ze的离子实，Z为单原子的价电子数目，因而，晶体中有NZ个价电子。即：,NZ个价电子，简称为电子，其位矢用 表示。,则系统的哈密
2、顿为：,则体系的薛定谔方程 这是一个NZ+N的多体问题。 绝热近似（多体问题多电子问题） 由于电子质量远小于离子实的质量，电子速度 远大于离子实的速度，可认为离子实固定在瞬时的 位置上，只关注电子体系的运动，这种近似为绝热 近似。此时电子系统的薛定谔方程,2. 单电子近似（平均场近似） （多电子问题单电子问题） 多电子问题中任何一个电子的运动不仅与自己 的位置有关，还与其它电子的位置有关，即所有电 子都是关联的，不能精确求解。 为此，用平均场代替价电子的相互作用，即 假定每个电子的库仑势相等，仅与该电子位置有 关，而与其它电子位置无关。,此时体系的哈密顿 取Z=1，这样总的 为N个单电子H之和
3、，多电 子问题单电子问题，每个电子,3. 周期场近似 令 假设它具有与晶格同样的平移对称性，即对 （平移矢量）而言，有 总结：采用3种近似后，晶体中单电子状态描述,二、布洛赫定理 定理描述：对于周期性势场 为任意格矢，单电子s. 方程： 的本征函数是按布拉非格子周期性调幅的平 面波，即 对 取布拉非格子的所有格矢都成立。,且,推论：Bloch定理也可以表述为对于上述s. 方程的每一个本征解，存在一个波矢 ， 使 对于任意格矢 都 成立。 证明：,2. 定理证明： 1）引入平移对称算符 2）证明 ，它们有共同的本征函数 3）求 已证推论进而求波函数,1）引入平移对称算符 定义： 将 作用于任意函
4、数 ,使 平移 ，则单电 子的周期性势场满足: 性质 证明：,，它们有共同本征函数 证明：,2）定理证明： 设 和 的共同的本征函数 说明： 所以 和 都是 的属于E的本征函数。,归一化条件：,上式只有当 和 成线性关系才成立，取 则,推论得证,可验证平面波 满足推论，所以 有波矢的含 义，当 增加倒格矢 时，平面波 也满足推论，因此电子波函数应是这些平 面波的线性叠加。 周期性。 所以电子的波函数是周期性调幅的平面波。,说明：1） 说明晶格 周期场中的电子在各原胞对应点出现的几率相同， 电子可以看成在整个晶体中自由运动，平面波因 子 描述晶体中的电子的共有化运动，而周期 函数因子描述电子在原
5、胞中运动（取决于原胞中 电子势场）以上为布洛赫波函数的物理意义。 2）对于一维晶格，布洛赫定理为 电子的波函数为周期性调幅的平面波。,3. 波矢的取值范围 设布拉非原胞 分别为 ，总原胞数 ，周期 性边界条件： 代入布洛赫定理的推论,基矢为 上的原胞数目,可看成倒格子空间中以 为基矢的布拉非格子的格矢，它的取值范围： 一个倒格子原胞空间中。 每个k占据体积： 电子的波矢密度： ，一个倒格子原胞中含有 波矢数： （晶体原胞数）,例1：一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫定理，若晶格常数为a，电子波函数为 , f为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢。,解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的
6、波函数具有以下特点：,令m-n=l，,在简约布里渊区中，即,取,4. 布里渊区 1）定义：在波矢空间中，从原点出发做各倒格矢的垂直平分面（线），这些面围绕原点构成一层层的多面体（多边形），把最内层的多面体叫第一布里渊区（简约布里渊区，中心布里渊区），第二层多面体为第二布里渊区，依次类推。 布里渊区的边界上的波矢满足：,2）性质 第一布里渊区体积等于倒格子原胞体积。 各布里渊区体积相等。 布里渊区的形状和晶体结构有关。,3）举例： 二维正方格子 正格子原胞基矢 倒格子原胞基矢 倒格矢 倒格子空间离原点最近的倒格点有4个，相应的倒格 矢为 ，它们的垂直平分线围成的区域为第一布 里渊区。 离原点次近
7、的4个倒格点相应的倒格矢为 它们的垂直平分线同第一布里渊区的边界线围成的区域为 第二布里渊区。 离原点再远一点倒格点的倒格矢为 ， 它们的垂直平分线同第一、第二布里渊区边界线形成第三 布里渊区。,第一布里渊区的面积为,二维正方格子的布里渊区,b. 简单立方格子 正格子原胞基矢 倒格子原胞基矢 倒格矢 ，倒格子空间离原点最近 的倒格点有6个，相应的倒格矢为 ，它们 的垂直平分面围成的区域为第一布里渊区。体积为 ，次近邻的倒格点有12个，倒格矢为 它们的中垂面围成一个菱形12面体，体积 ， 减去立方体为6个分离的四棱锥，体积为 ，为第二布里渊区。,第一布里渊区,C. 体心立方格子, 正格子基矢,
8、倒格子基矢, 边长 的面心立方格子, 第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体,12个近邻倒格点的倒格矢分别是：,体心立方格子第一布里渊区各点的标记,d. 面心立方格子, 正格子基矢, 倒格子基矢, 边长 的体心立方格子,第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，体积为 ， 倒格子原胞体积： ，所以它不是第一布里渊区，考虑次近邻的6个倒格点连线的垂直平分面割去正八面体的六个角，截去的体积 为 ，截去后体积刚好为 ，所以第一布里渊区是14面体，有8个正六边形和6个正方形，称截角八面体。, 第一布里渊区, 第一布里渊区,三、举例： 1.平面正三角形晶
9、格， 相邻原子间距为a， 试求 1）正格子基矢和 倒格子基矢。 2）画出第一、二、 三布里渊区。并计算体 积及内切圆半径。,解：正格子基矢选取如图： 设 ，则 倒格子基矢 倒格矢,离原点最近的倒格点对应的倒格矢为 这6个倒格矢的中垂线围成的空间为2部分， 以原点为对称心的正六边形为第一布里渊 区,正六边形外的6个三角形为第二布里渊区。 离原点次近的倒格点对应的倒格矢为 它和第一、二布里 渊区的边界为第三布里渊区。,内切圆半径为,2. 二维金属晶格，晶胞为简单矩形，晶格常数a=2埃，b=4埃，原子为单价的， a.试画出第一、二布里渊区 b.计算自由电子费米半径,解：倒格子原胞基矢为,选定一倒格点
10、为原点，2个最近邻倒格矢 和2个次近邻倒 格矢 的中垂线围成第一布里渊区，另2个次近邻的倒格矢 和4个次次近邻倒格 矢 的中垂线围成第二布 里渊区。,二维电子气的波矢密度： ，能量EE+dE之间的 电子态数： 能态密度： 在绝对零度时，费米能以下的量子态被电子占据，,5.2 克龙尼克潘纳模型,一、势场模型,521,522,周期性边界条件：,523,524,525,526,连续性边界条件：,二、主要结论和物理意义 只能取某些值波函数才存在，电子能谱由许多禁带和许可带相间排列而成。 许可带的宽度随 的增加而增加，从而也随E的增加而增加。（能级较高的能带较宽，能级较低的能带较窄。）,3. 许可带的宽
11、度随P的增加而减少。 当 P无穷时， 必须使 才可以，此时必须 ， 无限深势阱中能级的表示式。 当P0时， 自由电子能量表达式。 所以说P的数值适当了表达了粒子被束缚的程度。,4. 可画图如下,5.3 近自由电子近似 （弱周期场近似）,金属晶体中离子实对价电子的束缚较弱， 价电子的行为与自由电子相近。 一、模型 电子在一个周期性势场中运动 周期性势场随距离变化很小，即弱周期势场，可用量子力学中的微扰论来处理。,二、利用微扰论求能量表示式。 周期性势场的傅里叶展开 根据数理方法，对于一个周期为2l的实函数 f（x）可展为傅里叶级数如下：,把V(x)展开为： 它是周期性势场.设 比 小很多，可看做
12、微扰。 （周期势能偏离平均值的部分为微扰）,2. 能量和波函数（非简并） 1）零级近似 由S. 方程 可知零级近似方程为,周期性边界条件： 可证 满足正交性：,2）微扰部分,波函数,说明：（1） 是晶格的周期函数，即 满足布洛赫定理。 （2）上页的式子中第一部分为波矢为k的平面波，第二部分为平面波受周期场作用而产生的散射波。其中 代表散射波成分的振幅。 （3）当 ， 即 散射波振幅趋于无穷，不能看作微扰。说明散射波 较强，这时用简并理论处理问题。,三、简并情况下的波函数 若认为 是前进的平面波，那么 是散射波，此时零级近似波函数应 是它们的线性叠加。 代入s. 方程,531,5-32,上式左乘
13、 并在 对dx积分,533,同理532 式左乘 再对 积分 则A，B不全为0的充分必要条件是系数行列式为0,534,535,533,534,讨论 附近能量（此时散射波已 相当强） 代表自由电子在 时的动能。,设,536,2. 对536 式进行讨论 1 =0, 由于波的相互作用很强，原来能量都等于Tn的两 个状态变成两个能量不同的状态，一个状态能量 为 ，另一个状态能量为 能量差 为禁带宽度。,说明： 若 ,零级近似波函数是一种前进波和散射波叠加而成的驻波，两种波振幅相同，位移相同但方向相反。 产生驻波原因：波矢为 的平面波，波长 正好满足布拉格反射条件，遭到全反射,同入射波干涉形成驻波。,2
14、,537,538,由于是小量， 5-37式 只适用于禁带之上的 能带底部，能量随波 矢k变化关系是向上弯 的抛物线。 5-38式 适用于禁带之下的能 带顶部，能量随波矢k 变化关系是向下弯的 抛物线。,539,5310,(1)在k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现能隙，在能隙范围内没有许可的电子态，称为禁带，禁带宽度为 ；,(2)在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；,(3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。,小结：,(a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。,四、能带的三种图示法,(c)周期区图：在每一个
15、布里渊区中周期性地画出所有能带(强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。,(b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带)。,(a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。,5.4 紧束缚近似,一、模型 设想晶体中原子间距较大，每个原子（孤立原子） 势场对电子有较强的束缚作用，作为基本势场，以 孤立原子的电子态作为零级近似，其它原子对电子 的作用是次要的，看做微扰。 二、s. 方程及解 假设原子位于简单晶格的格点上，电子在格矢 的原子附近运动，不考虑原子 间的相互作用，孤立原子本征态 对应本征能量, 格点的原子在 处的势场,则S.方程为 若考虑原子之间的相互作用，则单电子的S.方程为
