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1、第四章 级数,工程数学-复变函数,1 复数项级数,1. 复数列极限,2. 复数项级数,3. 小结,工程数学-复变函数,1. 复数列的极限,1).定义,记作,工程数学-复变函数,2).复数列收敛的条件,那末对于任意给定的,就能找到一个正数N,证：,从而有,所以,同理,定理1：,工程数学-复变函数,反之, 如果,从而有,注:,的敛散性.,证毕,可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列,工程数学-复变函数,1). 定义,表达式,称为无穷级数.,级数(4.1)最前面 n 项的和,称为级数的部分和.,部分和,2. 复数项级数,工程数学-复变函数,收敛与发散（敛散性）,则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,
2、且称s为(4.1)的和,否则若复数列sn(n=1,2,)无有限极限,则称级数(4.1),若部分和数列sn(n=1,2,)以有限复数s为极限,即若,写成,为发散.,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,定理2 设 n=an+ibn(n=1,2,),an及bn为实数,则,分别收敛于a及b.,2).复数项级数收敛的条件,实数项级数,复级数(4.1)收敛于 s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:,注：,工程数学-复变函数,解:,例1.,所以原级数收敛.,级数,是否收敛？,工程数学-复变函数,定理3. 收敛级数的通项必趋于零:,不存在，则级数发散.,推论,或,定理4.,且,如果级数,收敛，,那么级
3、数,也收敛，,条件收敛.,定义. 若级数,收敛,则称原级数,绝对收敛;,若,发散,而,收敛,则称,工程数学-复变函数,下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.,而,解:,例2.,工程数学-复变函数,所以数列发散.,工程数学-复变函数,例3.,解:,级数满足必要条件,工程数学-复变函数,例4.,故原级数收敛, 且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解:,工程数学-复变函数,故原级数收敛.,所以原级数非绝对收敛.,例5.,解:,工程数学-复变函数,2 幂级数,1. 函数项级数的概念,2. 幂级数及其收敛性,3. 幂级数的运算,工程数学-复变函数,1. 函数项级数的概念,设,为一
4、复变函数序列,在区域D上有定义.,其中各项,部分和,复变函数项级数：,和,级数在点 z0 收敛.,和函数,工程数学-复变函数,2.幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为幂级数.,特别地，,时，有,定理 1. ( Abel定理 ),若幂级数,则对满足,的z ,反之, 若在,的z, 级数必发散 .,级数发散 ,则对满足,级数必绝对收敛.,工程数学-复变函数,证：,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0, 使,设,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛 .,也收敛,反之, 若当,时该幂级数发散 ,可以用反证法证明.,工程数学-复变函数,收敛圆与收敛半径,幂级数,收敛收敛的三种情况：,工程数学-复变函数,定
5、义：,对于幂级数,定理2. 若,的系数满足,则其收敛半径为,工程数学-复变函数,例1.,求幂级数,的收敛范围与和函数.,解:,级数的部分和为,级数,收敛,级数,发散.,工程数学-复变函数,且有,收敛范围为一单位圆域,由阿贝尔定理知:,在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,工程数学-复变函数,求下列幂级数的收敛半径:,(1),(并讨论在收敛圆周上的情形),(2),(并讨论,时的情形),或,解：,(1),因为,例2.,工程数学-复变函数,所以收敛半径,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.,级数,工程数学-复变函数,说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.,原级数成为,交错级数
6、,收敛.,发散.,原级数成为,调和级数，,(2),工程数学-复变函数,故收敛半径,例3.,求幂级数 的收敛半径:,解：,工程数学-复变函数,解：,所以,例4.,求 的收敛半径.,工程数学-复变函数,3.幂级数的运算,定理3. 设,则有 :,其中,工程数学-复变函数,定理4.,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,例5.,把函数,表成形如,的幂,级数, 其中,是不相等的复常数 .,解：,把函数,写成如下的形式:,代数变形 , 使其分母中出现,凑出,工程数学-复变函数,级数收敛,且其和为,工程数学-复变函数,解:,利用逐项积分,得:,所以,工程数学-复变函数,解:,工程数学-复变函数,例8. 计
7、算,解:,工程数学-复变函数,3 泰勒级数,1. 泰勒(Taylor)定理,2. 一些初等函数的泰勒展式,工程数学-复变函数,1. 泰勒展开定理,定理,工程数学-复变函数,证:,总有一个圆周:,使点 z 含在,由柯西积分公式得,的内部.,证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式:,工程数学-复变函数,为此改写：,我们设法将被积式表示为一个含有z-z0的正幂次级数.,由,时,工程数学-复变函数,我们有,于是,逐项积分得,工程数学-复变函数,而,最后得出,故定理的前半部分得证.,下面证明展式是唯一的.,在z0逐项求导即知,故展式是唯一的.,设另有展式,工程数学-复变函数,称为 f (z)在点z
8、0的泰勒展式；,称为泰勒系数；,称为其泰勒级数.,注：,工程数学-复变函数,例1.,解：,所以,求,在 的泰勒展式.,工程数学-复变函数,例2.,解：,所以,求,在 的泰勒展式.,而,工程数学-复变函数,例3.,解：,所以,求,在 的泰勒展式.,因为,工程数学-复变函数,例4.,解：,求,在 的泰勒展式.,工程数学-复变函数,例5.,解：,求,在 的泰勒展式.,工程数学-复变函数,一些初等函数的泰勒展式,工程数学-复变函数,4 洛朗级数,1. 双边幂级数,2. 洛朗级数,3. 将函数展称洛朗级数,工程数学-复变函数,1.双边幂级数,定义,称级数,为复常数，,称为双边幂级数的系数.,为双边幂级数
9、，其中,工程数学-复变函数,负幂项部分,正幂项部分,收敛范围为,收敛范围为,双边幂级数,收敛范围为,工程数学-复变函数,2.洛朗展开定理,定理,工程数学-复变函数,证：,使得z含在圆环,z,内，因为f(z)在圆环,上解析,由柯西积分公式有,对zH,总可以找到含于H内的两个圆周,工程数学-复变函数,对于第一个积分,只要照抄泰勒定理证明中的相应,或写成,我们将上式中的两个积分表为含有z-a的(正或负),幂次的级数.,部分,就得,工程数学-复变函数,类似地,对第二个积分,我们有,于是上式可以展成一致收敛的级数,工程数学-复变函数,沿1逐项求积分,两端同乘以,由(5.6),(5.7),(5.9)即得,
10、回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西,有,积分定理,对任意圆周,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(5.4)成立.,上一致收敛.乘以上的有界函数:,最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内 又可展成下式:,由定理5.1知,它在圆周,故可逐项积分，得：,仍然一致收敛,工程数学-复变函数,利用重要积分公式，得：,定义5.1 (5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式, (5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗 朗级数.,工程数学-复变函数,3.将函数展称洛朗级数,常用方法 : 1). 直接法 2). 间接法,1). 直
11、接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,缺点: 计算往往很麻烦.,工程数学-复变函数,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可用代数,运算、代换、求导和积分等方法去展开 .,优点 : 简捷 , 快速 .,2). 间接展开法,工程数学-复变函数,例1.,解：,由定理知:,其中,工程数学-复变函数,故由柯西定理知:,由高阶导数公式知:,工程数学-复变函数,另解,本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,工程数学-复变函数,例2.,内是处处解析的,试把 f (z) 在这些区域内展开成,解:,洛朗级数.,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,练习.
12、,展开成洛朗级数.,解:,工程数学-复变函数,注:,说明:,的奇点.,工程数学-复变函数,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开,式 (包括泰勒展开式作为它的特例).,回答：不矛盾 .,朗展开式是唯一的),问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?,(唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛,工程数学-复变函数,解:,例3.,工程数学-复变函数,例4.,解:,工程数学-复变函数,例5.,内的洛朗展开式.,解:,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,例6.,解:,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,ch4
13、级数,一、知识要点,1. 复数项级数,1).,2).,工程数学-复变函数,2. 幂级数,1). 收敛半径,比值法,若,则,若,则,根值法,工程数学-复变函数,2). 运算性质,工程数学-复变函数,3. 泰勒展开式,定理,工程数学-复变函数,4.洛朗展开定理,定理,工程数学-复变函数,二、典型例题,解:,例1.,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,例2.,解:,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,例3.,解:,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,例4.,解:,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,习题选做,工程数学-复变函数,工程数学-复变函数,洛朗展式,洛朗展式,思考：,
